Trong toán học ta quan tâm đến những mệnh đề có giá trị hân lý xác định (đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai). Các khẳng định như vậy được gọi là mệnh đề. Các mệnh đề đúng được nói là có giá trị chân lý đúng (hay chân trị đúng ), các mệnh đề sai được nói là có chân t rị sai. Ví dụ:
ܲ ¬ ܲ0110Phép nối liền: mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được ký hiệu bởi P∧Q (đọc là P và Q). Chân trị của P∧Q là 1 nếu cả P lẫn Q đều có chân trị 1. Trong các trường hợp khác, P∧Q có chân trị 0. Nói cách khác phép nối liền được xác định bởi bảng chân trị sau: ܲ ܳ ܲ∧ܳ 0 0 1 1 01010001Ví dụ: mệnh đề “Hôm nay trời đẹp và trận bóng đá sẽ hấp dẫn” được xem là một mệnh đề đúng nếu cả hai điều kiện “trời đẹp” và “trận bóng đá sẽ hấp dẫn” đều xảy ra. Ngược lại nếu một mệnh đề đúng một mệnh đề sai hoặc cả hai mệnh đề đều sai thì mệnh đề là một mệnh đề sai. Phép nối rời: mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được ký hiệu bởi P∨Q (đọc là P hoặc Q). Chân trị của P∨Q là 0 nếu cả P lẫn Q đều có chân trị 0. Trong các trường hợp khác, P∨Q có chân trị 1. Nói cách khác phép nối rời được xác định bởi bảng chân trị sau: ܲ ܳ ܲ∨ܳ 0 0 1 1 01010111Ví dụ: “Ba đang đọc báo hay xem tivi” là một mệnh đề đúng nếu lúc này ba đọc báo, xem tivi hay vừa đọc báo vừa xem tivi (!). Ngược lại nếu cả hai việc trên đều không xảy ra, ví dụ Ba đang làm việc thì mệnh đề là mệnh đề sai. Chú ý rằng trong mệnh đề P∨Q, từ “hay” được dung theo nghĩa bao gồm,nghĩa là ܲ và ܳ có thể đồng thời đúng. Tuy nhiên theo ngôn ngữ hằng ngày ta thường hiểu ܳ ∨ ܲ theo nghĩa loại trừ, nghĩa là ܲ đúng hay ܳ đúng nhưng không đồng thời đúng. Để phân biệt rõ rang, trong trường hợp loại trừ ta sẽ sử dụng từ “hoặc”: “ܲ hoặc ܳ” và ký hiệu ∨ ܲܳ (ܲ hay ܳ nhưng không đồng thời cả hai). Bảng chân trị của ∨ ܲܳ là: Phép kéo theo hai chiều: mệnh đề nếu ܲ thì ܳ và ngược lại được ký hiệu là ܳ ↔ ܲ (cũng đọc là ܲ khi và chỉ khi ܳ,ܲ nếu và chỉ nếu ܳ, hay P là điều kiện cần và đủ để có ܳ). Theo trên, cả hai chiều ܳ → ܲ và ܲ → ܳ đều đúng nên nếu ܲ đúng thì ܳ cũng đúng và ngược lại. Do đó ta có bảng chân trị của phép kéo theo hai chiều như sau: ܲ ܳ ܲ↔ܳ 0 0 1 1 01011001§2 DẠNG MỆNH ĐỀTrong Đại số ta có các biểu thức đại số được xây dựng từ: các số nguyên, hữu tỉ, thực,... mà ta gọi là hằng số. các biến ݔ,ݕ, ... có thể lấy giá trị là các hằng số. các phép toán thao tác trên các hằng số và các biến theo một thứ tự nhất định. Khi thay thế các biến trong một biểu thức đại số bởi các hằng số thì kết quả thực hiện phép toán trong biểu thức sẽ là một hằng số nào đó. Trong phép toán mệnh đề ta cũng có các “biểu thức logic” tương tự mà ta gọi là các dạng mệnh đề được xây dựng từ: các mệnh đề (hằng mệnh đề). các biến mệnh đề ,ݍ, ... có thể lấy giá trị là các mệnh đề nào đó. các phép nối thao tác trên các hằng mệnh đề và biến mệnh đề theo một thứ tự nhất định. Ở đây thứ tự được xác định bởi các dấu “()” để chỉ rõ phép nối thực hiện trên cặp mệnh đề nào, đúng ra là trên các biểu thức con nào. Ví dụ như: ܧ( ,ݍ,ݎ) = ( ∧ ݍ) ˅ ( ( ¬ ݎ) →) là một dạng mệnh đề trong đó ,ݍ,ݎ là các biến mệnh đề còn ܲ là một hằng mệnh đề. Giả sử ܧ,ܨ là 2 dạng mệnh đề, khi ấy ¬ ܧ,ܧ ∧ ܨ,ܨ → ܧ,ܨ ↔ ܧ là các dạng mệnh đề. Bằng cách này ta có thể xây dựng được các dạng mệnh đề càng ngày càng phức tạp. Mặt khác, điều ta quan tâm đối với một dạng mệnh đề ܧ( ,ݍ,ݎ, ...) là chân trị của mệnh đề đó có được ܧ( ܲ,ܳ,ܴ, ...) khi thay các biến mệnh đề ,ݍ,ݎ, ... bởi các hằng mệnh đề ܲ,ܳ,ܴ, ... có chân trị xác định, nghĩa là sự phụ thuộc của chân trị của ܧ( ,ݍ,ݎ, ...) theo các chân trị của ,ݍ,ݎ, ... chứ không phải theo các thể hiện cụ thể ,ݍ,ݎ, ... qua các mệnh đề cu thể ܲ,ܳ,ܴ, ... Nói cách khác mỗi một dạng mệnh đề ܧ( ,ݍ,ݎ, ...) có một bảng chân trị xác định trong đó mỗi dòng cho biết chân trị của ܧ( ,ݍ,ݎ, ...) theo các chân trị cụ thể của ,ݍ,ݎ, ... Ví dụ: 1. Ta hãy xây dựng bảng chân trị của hai dạng mệnh đề ˅( ݎ˄ݍ) và ( ݍ˅) ݎ˄ theo các biến mệnh đề ,ݍ,ݎ. ݍ ݎ ݍ˄ݎ ˅( ݍ˄ݎ) ˅ݍ ( ˅ݍ) ˄ݎ 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 Ta thấy hai dạng mệnh đề ˅( ݎ˄ݍ) , ( ݍ˅) ݎ˄ có bảng chân trị khác nhau. Điều này cho thấy thứ tự thực hiện các phép nối là quan trọng và sự cần thiết của các dấu “()”. Tuy nhiên ta sẽ quy ước rằng nếu phép nối ¬ đi cùng với một phép nối khác mà không có dấu “()” thì phép nối ¬ sẽ được ưu tiên thực hiện trước. Ví dụ như ¬ ݍ˅ có nghĩa là thực hiện ¬ trước rồi mới thực hiện , nói cách khác biểu thức ¬ ݍ˅ và ( ¬ ) ݍ˅ là một. Trong trường hợp muốn thực hiện sau ta phải đặt dấu ngoặc: ¬ ( ݍ˅). 2. Ta hãy xây dựng bảng chân trị của hai dạng mệnh đề ݍ → và ¬ ݍ˅ ݍ ¬ →ݍ ¬ ˅ݍ 0 0 1 1 0101110011011101Như vậy hai dạng mệnh đề ݍ → và ¬ ݍ˅ có cùng bảng chân trị. Ta nói chúng tương đương logic theo nghĩa sau Định nghĩa 1.2: hai dạng mệnh đề ܧ,ܨ được nói là chúng tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị. Khi ấy ta viết ܨ ⟺ ܧ. Chú ý rằng nếu ܧ và ܨ tương đương logic thì dạng mệnh đề ܨ ↔ ܧ luôn luôn lấy giá trị 1 dù các biến có lấy giá trị nào đi nữa. Định nghĩa 1.2: i. Một dạng mệnh đề được coi là một hằng đúng nếu nó luôn luôn lấy chân trị 1. ii. Một dạng mệnh đề được coi là một hằng sai hay mâu thuẫn nếu nó luôn luôn lấy chân trị 0. Từ nhận xét trên, ta luôn có Mệnh đề 1 .2 : hai dạng mệnh đề ܧ và ܨ tương đương logic khi và chỉ khi ܨ → ܧ là một hằng đúng. vi. Luật lũy đẳng (I dempotent Rules) ⇔ ∧ ⇔ ∨ vii. Luật trung hòa: ∧ 1 ⇔ ∨ 0 ⇔ viii. Luật về phần tử bù: ∧ ¬ ⇔ 0 ∨ ¬ ⇔ 1 ix. Luật thống trị: ∧ 0 ⇔ 0 ∨ 1 ⇔ 1 x. Luật hấp thụ: ∧ ( ݍ ∨ ) ⇔ ∨ ( ݍ ∧ ) ⇔ Chứng minh: đọc giả có thể kiểm tra dễ dàng 10 quy luật logic trên bằng cách lập bảng chân trị của hai vế của tương đương logic. đpcm Ví dụ:
Nếu ta liên kết dạng mệnh đề ݍ → với lệnh ݍ ݊݁ℎݐ ݂ܫ trong một số ngôn ngữ lập trình cấp cao như Pascal, Basic thì dạng mệnh đề ( ݍ˄) ݎ → sẽ được liên kết với lệnh ݎ ݊݁ℎݐ ݍ ˄ ݂ܫ còn dạng mệnh đề → ( ݎ → ݍ) sẽ đượ liên kết với lệnh ݎ ݊݁ℎݐ ݍ ݊݁ℎݐ ݂ܫ. Bây giờ ta hãy xét một ví dụ liên quan đến hay lệnh trên trong một đoạn chương trình viết bằng Pascal: a) ݖ:=3; For ݅:=1 to 10 do Begin ݔ: = ݅ − ݖ; ݕ: = ݖ+ 2݅ ∗; If (ݔ> 0) And (ݕ> 0) Then Writeln (‘giá trị của ݔ+ ݕ= ’,ݔ+ ݕ) End; b) ݖ:=3; For݅ :=1 to 10 do Begin ݔ: = ݅ − ݖ; ݕ: = ݖ+ 2݅ ∗; If ݔ> 0 Then If ݕ> 0 Then Writeln (‘giá trị của ݔ+ ݕ= ’,ݔ+ ݕ) End; Rõ ràng cả hai đoạn chương trình trên đều có cùng Output là hai dòng: giá trị của ݔ+ ݕ= giá trị của ݔ+ ݕ= Tuy nhiên trong chương trình a) ta cần 20 lần so sánh (10 lầ so sánh ݔ> 0 và 10 lần so sánh ݕ> 0), trong khi chương trình b) ta chỉ cần 12 lần so sánh (10 lần so sánh ݔ> 0 và 2 lần so sánh ݕ> 0 ứng với ݅= 1,2). Như thế chương trình b) chạy có hiệu quả hơn. Ví dụ trên đây cho thấy một mặt cần phân biệt ݍ → và lệnh ݍ ݊݁ℎݐ ݂ܫ, mặt khác ta cần nắm rõ các dạng tương đương của dạng mệnh đề để thực hiện lệnh ݍ ݊݁ℎݐ ݂ܫ có hiệu quả hơn. Chẳng hạn nhiều chương trình biên dịch lợi dụng tương đương logic 1.2 để thay lệnh ݊݁ℎݐ ݂ܫ( ݎ ݊݁ℎݐ ݍ ݂ܫ). Ở đây lại xảy ra nghịch lý là lệnh ݂ܫ( ݍ˄) ݎ ݊݁ℎݐ lại được thay thế bằng lệnh ݊݁ℎݐ ݍ ݂ܫ( ݎ ݊݁ℎݐ ݂ܫ) mà trong ví dụ trên ta cần đến 20 lần so sánh. Như thế phải cẩn thận khi sử dụng tương đương logic hiển nhiên (luật giao hoán) giữa ݍ˄và ݍ˄ݍ. Dưới đây là một số quy tắc suy diễn thường dùng mà chân lý có thể dược kiểm tra dễ dàng bằng cách lập bảng chân trị. Quy tắc Modus Ponens (Phương pháp khẳng định) Quy tắc này được thể hiện bởi hằng đúng [ ( ݍ → ) ∧] → ݍ (1.3) hoặc dưới dạng sơ đồ ݍ → ݍ Ví dụ: Nếu Minh học chăm thì Minh đạt Toán rời rạc Mà Minh học chăm Suy ra Minh đạt Toán rời rạc. Thật ra trong quy tắc Modus Ponens, mệnh đề p→q thường có dạng tổng quát hơn “với bất kỳ sinh viên X nào, nếu X học chăm thì X đạt Toán rời rạc” và ta đã đặc biệt hóa nó cho trường hợp X= sinh viên Minh. Các phép đặc biệt hóa sẽ được xem xét trong phần vị từ và lượng từ. Một ví dụ cổ điển khác của Qui tắc Modus ponens là: Mọi người đều chết mà Socrate là người vậy Socrate sẽ chết. Thường thì quy tắc Modus Ponens được áp dụng cùng với quy tắc thay thế để đơn giản hóa các bước suy luận. Chẳng hạn ta có phép suy diễn ݏ ∨ ݎ ( ݏ ∨ ݎ) → ( ¬ ݑ ∧ ݐ) ݎ → Ở đây Quy tắc Modus Ponens (dạng mệnh đề 1.3) được áp dụng cùng với phép thay thế bởi ݏ˅ݎ và q bởi ¬ ݑ˄ݐ. Tam đoạn luận ( Syllogism) được thể hiên bởi hằng đúng ݍ → ݎ → ݍ ݎ → Ví dụ: 1. Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì chúng có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau. Hai tam giác có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau thì chúng bằng nhau. Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì chúng bằng nhau.
Như thế ta thêm vào các tiền đề hai giả thiết phụ ¬r và ¬s và tìm cách chứng minh suy luận sau là đúng: ݎ → ¬ ݍ → ݏ → ݍ ¬ ݎ ¬ ݏ 0 Ta có các bước sau đây ¬ ݍ → ݏ → ݍ ¬ ݏ → (Tam đoạn luận) mà ¬ ݏ ¬ ( ¬ ) (Phương pháp phủ định) hay tương đương mà ݎ → ݎ (Phương pháp khẳng định) Kết luận ݎ cùng với giả thiết phụ ¬ ݎ cho ta: ∧ ݎ¬ ݎ ⟺ 0 Do đó theo phương pháp phản chứng, chứng minh ban đầu là đúng. Quy tắc chứng minh theo trường hợp Quy tắc này được thể hiện bởi hằng đúng sau: [ ( ݎ → ) ∧( ݎ → ݍ) ] →[ ( ݍ ∨ ) ݎ →] Ý nghĩa của quy tắc này là một giả thiết có thể tách thành hai trường hợp đúng hay q đúng, và ta đã chứng minh được riêng rẻ cho từng trường hợp là kết luận ݎ đúng, khi ấy ݎ cũng đúng trong cả hai trường hợp. Ví dụ: Để chứng minh rằng ݂( ݊) = ݊ ଷ+ 2݊ luôn chia hết cho 3 ta viết ݂( ݊) = ݊ ( ݊ଶ+ 2) và lấy n là một số nguyên tùy ý. Khi ấy có hai trường hợp xảy ra: ݊ chia hết cho 3: khi ấy rõ ràng f(n) cũng chia hết cho 3. ݊ không chia hết cho 3, khi ấy ta có thể viết ݊= 3݇± 1 với một số nguyên k nào đó. Ta có ݊ଶ+ 2 = ( 3݇± 1) ଶ + = 9 ݇ଶ ± 6 ݇+ 3 = 3( 3݇ଶ ± 2 ݇+ 1) Suy ra ݂( ݊) = ݊ ( ݊ 2 + 2) cũng chia hết cho 3. Như vậy trong mọi trường hợp ݂( ݊) chia hết cho 3. Ta hãy xem một ví dụ trong đó có sử dụng nhiều quy tắc: Nếu nghệ sĩ Văn Ba không trình diễn hay số vé bán ra ít hơn 50 thì đêm diễn sẽ bị hủy bỏ và ông bầu rất buồn. Nếu đêm biểu diễn bị hủy bỏ thì phải trả lại tiền vé cho người xem. Nhưng tiền vé đã không được trả lại cho người xem. Vậy nghệ sĩ Văn Ba có trình diễn. Ta thay các mệnh đề nguyên thủy bằng các biến mệnh đề : “nghệ sĩ Văn Ba đã trình diễn” ݍ: “số vé bán ra ít hơn 50” ݎ: “đêm diễn sẽ bị hủy bỏ” ݐ: “trả lại tiền vé cho người xem” Khi ấy lý luận cần chứng minh là ( ¬ ݍ ∨ ) → ( ݏ ∧ ݎ) ݎ → ݐ ¬ݐ Suy luận trên có thể được thực hiên theo các bước sau: ¬ ∨ ݍ → ݎ∧ ݏ (Tiền đề) ݎ → ݏ ∧ ݎ (hằng đúng gọi là phép đơn giản nối liền) ݎ → ݐ (Tiền đề) ¬ ∨ ݍ → ݐ (Tam đoạn luân mở rộng) mà ¬ ݐ (Tiền đề) ¬ ( ¬ ݍ ∨ ) (Phương pháp phủ định) hay ∧ ¬ ݍ (Quy tắc De Morgan và phủ định của phủ định) mà ∧ ¬ ݍ → (Phép đơn giản nối liền) (Phương pháp khẳng định) Phản ví dụ Bây giờ ta hãy xem một bài toán ngược: khi nào một chứng minh (suy luận) là sai, nghĩa là phải kiểm tra ( 1 2 ...n ¬ ݍ) → ݍ không phải là một hằng đúng. Nói cách khác tìm các chân trị của biến mệnh đề làm cho các tiền đề đều đúng trong khi kết luận q là sai. Ta nói ví dụ dẫn đến các giá trị của biến mệnh đề như trên là một phản ví dụ của định lý cần chứng minh. Ví dụ: hãy tìn phản ví dụ cho suy luận dưới đây Ông Minh đã khẳng định rằng nếu không được tăng lương thì ông ta sẽ xin nghĩ việc. Mặt khác nếu ông ta nghỉ việc mà vợ ông ta bị mất việc thì phải bán xe. Biết rằng nếu vợ ông Minh hay đi làm trễ thì sẽ mất việc và cuối cùng ông Minh đã được tăng lương. Suy ra nếu ông Minh không bán xe thì vợ ông ta không đi làm trễ. Giả sử ( ݔ) là một vị từ theo biến ݔ ∈ ܣ. Khi ấy có 3 trường hợp có thể xảy ra: Trường hợp 1: khi thay ݔ bởi một phần tử a tùy ý trong ܣ, ta được mệnh đề đúng ( ܽ). Trường hợp 2: với một số giá trị ܽ ∈ ܣ thì ( ܽ) thì mệnh đề đúng, một số giá trị ܾ ∈ ܣ thì ( ܾ) là mệnh đề sai. Trường hợp 3: khi thay ݔ bởi phần tử tùy ý trong ܽ, ta được mệnh đề sai ( ܽ). Nếu trường hợp 1 xảy ra thì mệnh đề “với mọi ݔ ∈ ܣ,( ݔ) ” là một mệnh đề đúng. Mệnh đề này được ký hiệu bởi ” ∀ݔ ∈ ܣ,( ݔ) ”. Như thế mệnh đề này sai nếu trường hợp 2 hay trường hợp 3 xảy ra. Mặt khác nếu trường hợp 1 hay trường hợp 2 xảy ra thì mệnh đề “tồn tại ݔ ∈ ܣ ,( ݔ) ” là một mệnh đề đúng. Mệnh đề này được ký hiệu bởi “∃ݔ ∈ ܣ,( ݔ) ”. Nếu vậy mệnh đề này sẽ sai nếu trườgn hợp 3 xảy ra. Định nghĩa 1.4: các mệnh đề “∀ݔ ∈ ܣ,( ݔ) ” và “∃ݔ ∈ ܣ,( ݔ) ” được gọi là lượng từ hóa của vị từ ( ݔ) bởi lượng từ phổ dụng (∀) và lượng từ tồn tại (∃). Chú ý:
Định lý 1 .4 : nếu ( ݔ,ݕ) là một vị từ theo 2 biếnݔ ,ݕ thì các mệnh đề sau là đúng i. [ ∀ݔ ∈ ܣ,∀ݕ ∈ ܤ,( ݔ,ݕ) ] ⟷ [ ∀ݕ ∈ ܤ,∀ݔ ∈ ܣ,( ݔ,ݕ) ] và [ ∃ݔ ∈ ܣ,∃ݕ ∈ ܤ,( ݔ,ݕ) ] ⟷[ ∃ݕ ∈ ܤ,∃ݔ ∈ ܣ,( ݔ,ݕ) ] ii. [ ∃ݔ ∈ ܣ,∀ݕ ∈ ܤ,( ݔ,ݕ) ] ⟷[ ∀ݕ ∈ ܤ,∃ݔ ∈ ܣ,( ݔ,ݕ) ] Chứng m inh: ta chỉ cần chứng minh ii Giả sử ” ∃ݔ ∈ ܣ,∀ݕ ∈ ܤ,( ݔ,ݕ) ” đúng. Khi ấy sẽ tồn tại ܽ ∈ ܣ sao cho mệnh đề “∀ݕ ∈ ܤ,( ܽ,ݕ) ” là đúng, nghĩa là nếu thay ݕ= ܾ ∈ ܤ tùy ý thì ( ܽ,ܾ) đúng. Như vậy với ݕ= ܾ ∈ ܤ tùy ý ta có thể chọn ݔ= ܽ để khẳng định rằng “∃ݔ ∈ ܣ,( ݔ,ܾ) ” là đúng. Do đó “∀ݕ ∈ ܤ,∃ݔ ∈ ܣ,( ݔ,ݕ) ” là một mệnh đề đúng. đpcm Chú ý: mệnh đề đảo của ii không nhất thiết đúng trong trường hợp tổng quát. Thật vậy ta hãy xem một ví dụ Gọi ( ݔ,ݕ) là vị từ theo hai biến thực: “ ݔ+ ݕ = 1 ” Ta nhận xét rằng nếu thay y=b là một số thực tùy ý thì ta có thể chọn ݔ= 1 ܾ − để cho x + b = 1 nên mệnh đề “ࡾ ∈ ݔ∃, ݔ+ ܾ = 1 ” là đúng. Điều này chứng tỏ mệnh đề “ࡾ ∈ ݕ∀,ࡾ ∈ ݔ∃, ݔ+ ݕ = 1 ” đúng. Ngược lại nếu thay ݔ= ܽ tùy ý, ta có thể chọn ݕ= −ܽ để cho ܽ+ ݕ = 0 ≠ 1 nên mệnh đề “ࡾ ∈ ݕ∀, ܽ+ ݕ = 1 ” là sai. Điều này chứng tỏ mệnh đề “ࡾ ∈ ݔ∃,ࡾ ∈ ݕ∀, ݔ+ ݕ = 1 ” là sai. Do đó phép kéo theo sau là sai: ( ࡾ ∈ ݕ∀,ࡾ ∈ ݔ∃, ݔ+ ݕ = 1) ⟶ ( ࡾ ∈ ݔ∃,ࡾ ∈ ݕ∀, ݔ+ ݕ = 1) Các kết quả trên đây có thể được mở rộng dễ dàng cho các vị từ theo nhiều biến tự do. Đặc biệt ta có: Định lý 1.4: trong một mệnh đề lượng từ hóa từ một vị từ theo nhiều biến độc lập nếu ta hoán vị hai lượng từ đứng cạnh nhau thì Mệnh đề mới vẫn còn tương đương logic với mệnh đề cũ nếu hai lượng từ này cùng loại Mệnh đề mới sẽ là một hệ quả logic của mệnh đề cũ nếu hai lượng từ trước khi hoán vị có dạng ∃∀. Ví dụ: một hàm thực liên tục đều trên một khoảng ܫ ࡾ được định nghĩa bởi mệnh đề: ߝ∀> 0,ߜ∃> 0,ܫ ∈ ݔ∀,ݔ∀ᇱܫ ∈,( |ݔ − ݔᇱ|< ߜ) ⟶( |݂( ݔ) ݂ −ᇱ( ݔ) |< ߝ) Theo mệnh đề 1.4 thì mệnh đề trên có hệ quả logic là ߝ∀> 0,ܫ ∈ ݔ∀,ߜ∃> 0,ݔ∀ᇱܫ ∈,( |ݔ − ݔᇱ|< ߜ) ⟶( |݂( ݔ) ݂ −ᇱ( ݔ) |< ߝ) hay tương đương ܫ ∈ ݔ∀,ߝ∀> 0,ߜ∃> 0,ݔ∀ᇱܫ ∈,( |ݔ − ݔᇱ|< ߜ) ⟶( |݂( ݔ) ݂ −ᇱ( ݔ) |< ߝ) Nói cách khác một hàm liên tục đều trên I thì liên tục. Để lấy phủ định một mệnh đề lượng từ hóa, chú ý 2 của định nghĩa 1.4 có thể được mở rộng thành |
