- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u(n)
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:
u(1); u(2); u(3); ....u(n);....
♦ Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số.
♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,u3…..un,.... hoặc dạng rút gọn (un).
2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:
♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.
Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
Đáp án và hướng dẫn giải
Xét dãy (un) có dạng: un=an3+bn2+cn+d
Giải hệ trên ta tìm được: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1
⇒ un=n3-3n+1 là một quy luật .
Số hạng thứ 10: u10=971.
Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi
Quảng cáo
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
Đáp án và hướng dẫn giải
Ta có năm số hạng đầu của dãy
Ta có:
do đó un nguyên khi và chỉ khi
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4=7.
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng un=u4;
Đáp án và hướng dẫn giải
1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u1=1;u2=2u1+3=5;u3=2u2+3=13;u4=29; u5=61.
2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
* Với n = 1 ⇒ u4=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1
* Giả sử uk=2k+1-3 , ta chứng minh u_(k+1)=2k+2-3
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:
uk+1=2uk+3=2(2k+1-3)=2k+2-3 (đpcm).
Quảng cáo
Bài 1: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát
1. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
2. Tìm số hạng thứ 100 và 200
3. Số 167/84 có thuộc dãy số đã cho hay không
4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
Lời giải:
1. Năm số hạng đầu của dãy là: u1=1, u2=5/4, u3=7/5, u4=3/2 ,u5=11/7.
2.
3. Giả sử
Vậy 167/84 là số hạng thứ 250 của dãy số un .
4. Ta có:
⇒ un nguyên khi và chỉ khi 3 chia hết cho (n+2) ⇒ n = 1
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên.
Bài 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:
1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy
2. Chứng minh rằng: un=5.3n-1-6.2n-1∀n ≥ 1
Lời giải:
Bốn số hạng đầu của dãy
u3=5u2-6u1=21; u4=5u3-6u2=87; u5=309; u6=1023; u7=3261 .
2. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
* u1=5.30-6.20=-1(đúng)
* Giả sử uk=5.3(k-1)-6.2(k-1) ∀k ≥ 2 .
Khi đó, theo công thức truy hồi ta có:
u(k+1)=5uk-6u(k-1)=5.(5.3(k-1)-6.2(k-1) )-6(5.3(k-2)-6.2(k-2) )=5(5.3(k-1)-6(3(k-2) )-6(5.2(k-1)-6.2(k-2) )=5.3k-6.2k( đpcm).
Bài 3: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát:
1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số
2. Tính u20 ,u2010
3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
Lời giải:
1. Ta có: u1=2+√5,u2=4+2√2,u3=6+√13,u4=8+2√5,u5=10+√29, u6=12+2√10.
2.
3.
⇔ (k – n) (k + n) = 4 phương trình này vô nghiệm
Vậy không có số hạng nào của dãy nhận giá trị nguyên.
Bài 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:
1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy
2. Chứng minh rằng : un=5.2n-3n-5 ∀n=1,2,3…
3. Tìm số dư của u2010 khi chia cho 3
Lời giải:
1 Ta có: u1=2, u2=9, u3=26, u4=63, u5=140
2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
3. Ta có: 5.22010≡1.(-1)2010=1(mod3)
Suy ra : u2010≡2(mod 3).
Bài 5: Cho dãy số (un):
1. Chứng minh rằng dãy (vn):vn=un-u(n-1) là dãy không đổi
2. Biểu thị un qua u(n-1) và tìm CTTQ của dãy số (un)
Lời giải:
1. Ta có: u(n+2)-u(n+1)=u(n+1)-un ⇒ v(n+2)=u(n+1)=⋯=u2=1
2. Ta có: : un-u(n-1)=1 ⇒ un=u(n-1)+1
Suy ra un=(un-u(n-1))+(u(n-1)-u(n-2))+⋯+(u2-u1)+u1=1+1+⋯+1+u1=n-1+2018=n+2017
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp