Cách giải các phương trình và hệ phương trình

Tài liệu gồm 55 trang hướng dẫn một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình Đại số 10 chương 3 (phương trình và hệ phương trình), tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Văn Thiêm, giáo viên trường THPT Yên Thành 2 – Nghệ An.

PHẦN I. MỘT SỐ LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
VẤN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHÉP THẾ Cách giải hệ phương trình bằng phép thế là đưa nhiều ràng buộc về ít ràng buộc, đưa hệ nhiều phương trình về hệ ít phương trình hay là đưa hệ phương trình về phương trình. Bởi vậy, đây là cách làm tự nhiên nhất, theo quan điểm đưa cái phức tạp về cái đơn giản. Dấu hiệu nhận dạng đối với hệ phương trình giải bằng phép thế là ít nhất một trong các phương trình có thể rút được một ẩn qua các ẩn còn lại; việc thế vào những những phương trình kia cho ta phương trình hay hệ phương trình có thể giải được.

VẤN ĐỀ 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU 1

Hệ phương trình hai ẩn đối xứng kiểu 1 là hệ phương trình hai ẩn mà khi ta hoán đổi vị trí hai ẩn, hệ không đổi.

VẤN ĐỀ 3. HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2

Hệ phương trình đối xứng kiểu 2 là loại hệ phương trình mà khi ta hoán đổi vị trí các biến thì phương trình này thành phương trình kia và ngược lại.

VẤN ĐỀ 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP HAI ẨN

[ads]

PHẦN II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
1. Biến đổi một phương trình: Dùng cách này khi thấy một phương trình có yếu tố thuận lợi để biến đổi, tính toán hoặc các phương trình trong hệ ít có mối liên hệ với nhau. + Biến đổi một phương trình thành tích hoặc thành phương trình đa thức sao cho có thể biểu diễn một ẩn theo các ẩn còn lại. + Thế vào các phương trình còn lại.

2. Phương pháp cộng đại số, phép thế: Chúng ta thực hiện cách này khi thấy các vế của các phương trình có mối liên hệ rõ ràng về hình thức, khiến cho việc thực hiện phép thế hay cộng đại số làm xuất hiện phương trình mới đơn giản hơn.

+ Giữ nguyên một phương trình của hệ. + Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình, hay thế một phương trình vào phương trình còn lại … để được phương trình mới. + Giải hệ bao gồm phương trình được giữ lại và phương trình mới.

VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1. Bài toán dễ phát hiện ẩn phụ Đó là bài toán mà các đại lượng bên trong dễ “mã hoá” triệt để qua một hay một số ẩn số. Thông thường đó là tình huống đặt ẩn phụ để “bó” biểu thức rườm rà về một ẩn, đưa phân thức về đa thức, đưa căn thức về đa thức hay biểu thức chứa logarit, lượng giác về đa thức.

2. Bài toán đặt ẩn phụ sau một vài bước biến đổi

Khi thấy các biểu thức trong hệ phương trình có mối liên hệ đặc biệt về hình thức, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ. Tuy nhiên, mối liên hệ đó không phải lúc nào cũng rõ ràng, do đó cần có những bước biến đổi đẳng thức làm ẩn phụ xuất hiện. Cũng có những hệ phương trình khó giải, chúng ta buộc có những biến đổi làm thay đổi hình thức bài hình thức để tìm lời giải, có thể khi đó mới phát hiện ẩn phụ.

VẤN ĐỀ 3. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1. Biến đổi một phương trình về dạng f(u) = f(v) + Biến đổi một phương trình về dạng f(u) = f(v). + Chứng minh f(t) là hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên miền xác định của của nó, từ đó đi đến kết luận u = v. + Thế u = v vào phương trình còn lại.

2. Dự đoán tập nghiệm, chứng minh không còn nghiệm khác nữa
+ Đưa hệ về phương trình một ẩn dạng f(x) = 0.

+ Chỉ ra phương trình f'(x) = 0 có k nghiệm, chứng tỏ f(x) = 0 có nhiều nhất k + 1 nghiệm.

+ Liệt kê k + 1 nghiệm của f(x) = 0 và khẳng định đó là tập nghiệm phương trình. Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ .

09:02:5416/12/2020

Việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số được khá nhiều bạn giải theo cách này so với việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như thế nào? Giải hệ bằng phương pháp này có ưu điểm gì so với phương pháp thế hay không? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này.

I. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

• Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số :
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

 , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

• (d)//(d’) thì hệ vô nghiệm
• (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
• (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

II. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số

a) Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:

+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

+ Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

* Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

  (lấy PT(1) + PT(2))

 

b) 

 (lấy PT(1) - PT(2))

 

III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

* Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cộng đại số

a) 

     b) 

c) 

   d) 

e) 

* Lời giải:

a) 

  Lưu ý: Lấy PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

b) 

  Lưu ý: Lấy PT(1)-PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

c) 

  (Nhân 2 vế PT(2) với 2 để hệ số của x ở 2 PT bằng nhau)

 

  (lấy PT(1) - PT(2))

 ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;-2)

d) 

 (Nhân 2 vế PT(1) với 3, 2 vế PT(2) với 2)

  

  (Lấy PT(1)-PT(2))

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (-1;0)

e) 

 (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

  

 (Lấy PT(1)-PT(2))

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (5;3)

Tóm lại, qua bài viết về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số các em thấy, việc giải theo phương pháp này sẽ không làm phát sinh phân số như phương pháp thế, điều này giúp các em đỡ nhầm lẫn khi giải hệ.

Việc vận dụng phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tùy thuộc vào em thành thạo phương pháp nào hơn.

Tuy nhiên, như bài viết đã hướng dẫn, việc giải theo mỗi phương pháp sẽ có ưu và nhược điểm khác nhau. Nếu chịu khó rèn kỹ năng giải, các em sẽ vận dụng linh hoạt các phương pháp này cho từng bài toán, qua đó giải nhanh hơn và ít sai sót hơn.