Hướng dẫn giải các dạng toán tổ hợp và xác suất là tài liệu mà Download.vn muốn giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 11, 12 cùng tham khảo. Tài liệu bao gồm 102 trang, tổng hợp toàn bộ lý thuyết, dạng toán và bài tập các chủ đề thuộc chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2. Qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học kì 1 sắp tới. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm phương pháp giải các dạng toán phép biến hình,124 bài tập trắc nghiệm quan hệ vuông góc. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng theo dõi tại đây. Hướng dẫn giải các dạng toán tổ hợp và xác suất CHƯƠNG 4 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 131 132 CHƯƠNG 4. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Định nghĩa 1 (Quy tắc cộng). Một công việc X được thực hiện theo một trong k phương án A 1 , A 2 ,..., A k , trong đó 1 Phương án A 1 có n 1 cách thực hiện; 2 Phương án A 2 có n 2 cách thực hiện; 3 . . . 4 Phương án A k có n k cách thực hiện. Khi đó số cách hoàn thành công việc X là n(X ) \= n 1 +n 2 +···+n k \= k P i\=1 n i cách. Định nghĩa 2 (Quy tắc nhân). Giả sử một nhiệm vụ X nào đó được hoàn thành lần lượt qua k giai đoạn A 1 , A 2 ,.. . , A k : 1 Giai đoạn A 1 có n 1 cách làm; 2 Giai đoạn A 2 có n 2 cách làm; 3 . . . 4 Giai đoạn A k có n k cách làm. Khi đó công việc X có số cách thực hiện là n(X) \=n 1 ·n 2 ·n 3 ···n k \= k Q i\=1 n i cách. Định nghĩa 3 (Quy tắc bù trừ). Đối tượng x cần đếm được chứa trong một đối tượng X gồm x và x đối lập nhau. Nếu X có m cách chọn, x có n cách chọn. Vậy x có (m −n) cách chọn. Về mặt thực hành, đề cho đếm những đối tượng thỏa a và b. Ta cần làm: Bài toán 1: Đếm những đối tượng thỏa a. Bài toán 2: Đếm những đối tượng thỏa a, không thỏa b. Do đó, kết quả bài toán \= kết quả bài toán 1 − kết quả bài toán 2. ! Nếu bài toán chia ra từng trường hợp không trùng lặp để hoàn thành công việc thì dùng qui tắc cộng, nếu bài toán chia ra từng giai đoạn thực hiện thì ta dùng quy tắc nhân. Trong nhiều bài toán, ta không chỉ kết hợp giữa hai quy tắc này lại với nhau để giải mà cần phân biệt khi nào cộng, khi nào nhân, khi nào trừ. “Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng. Khi đó thì số phần tử của A ∪B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A ∩B, tức là n(A ∪B) \= n(A) +n(B) −n(A ∩B)”. Đó là quy tắc cộng mở rộng. Do đó khi giải các bài toán đếm liên quan đến tìm số sao cho các số đó là số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực hiện (chọn) chúng trước và nếu chứa số 0 nên chia 2 trường hợp nhằm tránh trùng lặp với nhau. Dấu hiệu chia hết: Gọi N \=a n a n−1 ... a 1 a 0 là số tự nhiên có n +1 chữ số ( a n 6=0). Khi đó:
. . . 2 ⇔a 0 . . . 2 ⇔a 0 ∈ { 0;2; 4; 6; 8 } .
. . . 5 ⇔a 0 . . . 5 ⇔a 0 ∈ { 0;5 } .
. . . 4 (hay 25) ⇔a 1 a 0 . . . 4 (hay 25).
. . . 8 (hay 125) ⇔a 2 a 1 a 0 . . . 8 (hay 125).
. . . 3 (hay 9) ⇔a 0 +a 1 +···+a n . . . 3 (hay 9). B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
1 VÍ DỤ { DẠNG 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc cộng VÍ DỤ 1. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách chọn đề tài? ĐS: 31 Lời giải. Mỗi thí sinh có các 4 phương án chọn đề tài: Chọn đề tài về lịch sử có 8 cách chọn. Chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách chọn. Chọn đề tài về con người có 10 cách chọn. Chọn đề tài về văn hóa có 6 cách chọn. Theo quy tắc cộng, có 8 +7 +10 +6 \=31 cách chọn đề tài. ä VÍ DỤ 2. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn chuyến đi từ tỉnh A đến tỉnh B? ĐS: 18 Lời giải. Để đi từ A đến B có 3 phương án lựa chọn: Đi bằng ô tô có 10 cách chọn. Đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn. Đi bằng máy bay có 3 cách chọn. Theo quy tắc cộng, có 10 +5 +3 \=18 cách chọn. ä { DẠNG 1.2. Bài toán sử dụng quy tắc nhân VÍ DỤ 1. An đến nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà mình đến nhà Cường? ĐS: 24 Lời giải. Để đi từ nhà An đến nhà Cường cần thực hiện 2 giai đoạn Đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách. Đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách. Theo quy tắc nhân, có 4 ·6 \=24 cách chọn đường đi. ä VÍ DỤ 2. Lớp 11A có 30 học sinh. Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp như trên, biết rằng một bạn chỉ có thế làm tối đa một vai trò? ĐS: 24360 Lời giải. Để bầu ra một ban cán sự lớp cần thực hiện 3 giai đoạn Bầu lớp trưởng có 30 cách Bầu phó có 29 cách Bầu thủ quỹ có 28 cách Theo quy tắc nhân, có 30 ·29 ·28 \=24360 cách chọn. ä |
