Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học là môn học được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các trường đại học và cao đẳng, bởi Xác suất Thống kê XSTK là công cụ để giải quyết các vấn đề chuyên môn của rất nhiều lĩnh vực. Nhưng XSTK cũng là món toàn khó. Rất dễ bị nhầm lẫn, bị sai khi giải các bài toán về XSTK nếu người giải phân tích vấn đề không chặt chẽ, chính xác. Không ít người khi học môn XSTK rơi vào tình trạng lung túng khi xem hai cách giải khác nhau, trong đó có cách giải sai, nhưng không phân biệt được, và nói chung là nghe giảng thế nào thì biết như thế. Để giúp bạn đọc nhanh chóng tìm được cách giải đúng của các bài toán XSTK, theo gợi ý của một số đồng nghiệp, tôi biên soạn cuốn "Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất Thống kê". Trong mỗi vấn đề, tôi nêu một số nhận xét mang tỉnh chất kinh nghiệm nhưng lại là chìa khoá để nhận biết ra cách giải chúng, cũng như một số sai lầm mà người học hay mắc phải, để giúp bạn đọc phân biệt được và biết giải các bài toán với các ngữ cảnh khác nhau nhưng thực chất chúng thuộc cùng một mô hình. Các bài toán ở mức độ khó đối với người học XSTK ở mức độ 45 – 60 tiết sẽ được đánh dấu * Để hiểu được các điều viết ở cuốn sách này, đòi hỏi bạn đọc đã phải học các phần lý thuyết tương ứng. Để sử dụng cuốn sách này một cách có hiệu quu, bạn đọc cần đọc kỹ phần hướng dẫn, hiểu được các ví dụ, vì đó là các bài toàn mẫu, sau đó phải làm bài tập. Khi làm bài tập bạn đọc như vận dụng theo phần hướng dẫn và theo như các ví dụ, thì bạn đọc sẽ khắc phục được nhiều điều lùng tùng không đáng có và sẽ biết giải các bài toán XSTK một cách tự tin. Cuốn sách được viết với sự động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện của Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội. Tác giả xin được nói lời cám ơn sâu sắc. Tác giả bày tỏ lời cảm ơn GS.TS. Nguyễn Văn Hữu và TS. Phan Viết Thư đã đọc và cho những đánh giá quý báu. Cuốn sách được ra mắt bạn đọc là nhờ sự giúp đỡ tích cực và hiệu quả của Nhà xuất bản, đặc biệt là Ban biên tập, mà tác giả muốn nói lời cảm ơn chân thành. Vì khả năng có hạn, giáo trình khó tránh khỏi sai sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc để cuốn sách được thêm hoàn thiện. Bài 1: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. Hướng dẫn * Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách) * Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách) * Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách) Suy ra xác suất cần tìm là ( 24 + 12) 4 p = = 90 10 Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu. Hướng dẫn Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có C 4cách lấy hay n( Ω ) = C 4 . Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau: +) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C 2 C1C1 = 2160 cách +) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C1 C 2C1 = 1680 cách +) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có C1 C1C 2 = 1200cách Do đó, n(A) = 5040 Vậy, xác suất biến cố A là P( A) = n( A) = 5040 n(Ω) 10626≈ 47, 4% Bài 3: Từ các chữ số của tậpT = {0;1; 2; 3; 4; 5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất một số chia hết cho 5. Hướng dẫn + Có 5.A2 = 100số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau + CóA2 + 4.A1 = 36 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. + Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. + n (Ω) = C1 .C1= 9900 100 99 + Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5” Ta có:n ( A) = C1 .C1+ C1.C1= 3564 Vậy : 36 64 36 35 P ( A) = n ( A) = 3564 = 9 = 0, 36 n (Ω) 20 10 5 5 9900 25 Bài 4: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4. Hướng dẫn - Số phần tử của không gian mẫu là:n (Ω) = C 5 \= 15504 . - Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4. - Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có:n ( A) = C 3 .C1.C1 = 3000 . Vậy, xác suất cần tính là:P ( A) = n ( A) = 3000 = 125 . n (Ω)= 995 A 4 15504 646 Bài 5: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ). Hướng dẫn Xét các số có 9 chữ số khác nhau: - Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên. - CóA8 cách chọn 8 chữ số tiếp theo Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. A8 = 3265920 Xét các số thỏa mãn đề bài: - Có C 4 cách chọn 4 chữ số lẻ. - Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách xếp. - Tiếp theo ta có2 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0. - Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại. Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( A) = C 4 .7.A2 .6!= 302400.5 4 Vậy xác suất cần tìm làP( A) = 302400 = 5 . 3265920 54 11 5 6 5 6 16 Bài 6: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Hướng dẫn - Ta cón (Ω) = C 3 \= 165 - Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là C 2 .C1 + C1.C 2 = 135 - Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 = 9 165 11 Bài 7: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu. Hướng dẫn - Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8 - B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9 - Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C = A.B + A.B Vậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26 Bài 8: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn Hướng dẫn Ta có : Ω = C 4= 1820 Gọi A: “2nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ” B: “1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ” C: “1 nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ “ Thì H = A ∪ B ∪ C : “Có nữ và đủ ba bộ môn” C 2C1C1 + C1C 2C1 + C1C1C 2 3 P(H ) = 8 5 3 8 5 3 8 5 3 = Ω 7 Bài 9: Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. 11 Hướng dẫn n (Ω) = C3 \= 165 |
