Bài toán thực tế của đại số giải tích năm 2024

CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN .....................................................................................

• TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN THỰC TẾ .....................................................................

Bài 5.

Một chiếc can hình trụ không nắp được làm để chứa V

3 cm chất lỏng. Tìm kích

thứớc chiếc hộp sao cho chi phí kim loại làm chiếc can đó là nhỏ nhất.

Giải:

Để chi phí kim loại làm chiếc can đó là nhỏ nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất

Thể tích của hình trụ là: V=B=

2 r h 

2

V

h r





Trong đó B: diện tích đáy:

Vì hình trụ không nắp nên chỉ có 1 đáy  Sđáy =

2 r

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Stp =Sđáy + Sxq =

2 2 2 2

V 2V

r 2 rh r 2 r r r r

       



Xét hàm số :

2 S r 2 hr  

S' 2 r 2 h    , S' 0   r h

Bảng biến thiên:

r   0 h 

S' r 

 0 

S r 

 

2  h 2h

Vậy kích thước chiếc hộp là có bán kính đường tròn đáy có độ dài r =h

Phương trình có 2 nghiệm :

1

2

x 6.

x 4

    

Loại nghiệm 2 x 4

Vậy với x =6 thì chiều dài cái thang ngắn nhất:

 

2 f x 277 CD 277 16,64CD     (ft)

Bài 5.

Một chiếc tách uống nước có dạng hình nón có khả năng chứa được 27 cm3 nước.

Tính chiều cao và bán kính của chiếc tách sao cho lượng giấy dùng để làm tách là

nhỏ nhất?

Giải :

Ta có công thức thể tích hình nón : V=

1

3

 2 r h =27

2

3V

h r



 =

2

81

r =

4

2

3

r

Để lượng giấy tiêu thụ là nhỏ nhất thì diện tích xung quanh nhỏ nhất:

Trong đó :

8 2 2 2 2 4

3

l h r r r

   



 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

Ta có : Sxq= rl=

8 8 2 4 2 4 2 2

3 3 r r r r r

     

\=

8 8 16 43 2 2 2 2 4

3 3 3

r 3 2 r 2 r 4

   

  

Dấu “=” xảy ra khi :

8 8 46 2 2 2

3 3

r r 2 r 2

  

  2,6319 (cm)



4

2 2 8 6 2

h 3

3V 3

r 3

2

  ,

  







  

  (cm)

Bài 5.

Một người quan sát đứng tại điểm P, cách xa đường đua 1 đơn vị. Hai vận động viên

xuất phát từ điểm S như trong hình và chạy dọc đường đua, biết vận động viên thứ

nhất chạy nhanh gấp 3 lần vận động viên thứ 2ìm góc quan sát θ lớn nhất giữa 2

vận động viên.

Giải:

Để

HPK

lớn nhất khi và chỉ khi tgHPK lớn nhất

Đặt SH x (m) với x>

  

 

  2

tgHPK tg(SPK SPH)

SK SH tgSPK tgSPH SP SP 2x

1 tgSPK SK SH 1 3x 1 SP SP

  





  

 

 

Xét hàm số

2

2x f (x) 1 3x





Bài toán trở thành tìm x >0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất

Ta có

2

2 2

6x 2 f '(x) (1 3x )

 





,

3

f '(x) 0 x 3

  

(m)

Ta có bảng biến thiên :

x   0 3

3



f '(x)  0



f(x)

0

3

3

0

 max max

3 3

f x arctg 30

3 3



 

     

 



t 87,71 phút   : Thời điểm tốc độ mức độ giảm thấp nhất sau 87,71 phút từ thời

điểm ban đầu với mức độ thuốc trong máu xấp xỉ 901,

2. Đường cong phản ứng thuốc

Bài 6.

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh

kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

 

2 3 G t 45t t  (kết quả

khảo sát được trong 10 tháng vừa qua).

1. Tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày nào?

2. Vẽ đồ thị hàm số

G t  ,

G' t  bằng một phần mềm tùy ý**.**

Giải:

aàm tốc độ truyền bệnh :

   

2 G' t 90t 3t H t  

Xét

H' t 90 6t   ,

H' t 0 t 15    ( ngày)

Bảng biến thiên:

t   0 15 300 

H' t   0 

H t 

675

0  24300

Từ BBT tại thời điểm t=15 (ngày) tốc độ truyền bệnh lớn nhất lên đến 675 người

bẽ đồ thị

 Đồ thị hàm

 

2 3 G t 45t t 

2. Vẽ đồ thị đường cong vận tốc của chuyển động bằng 1 phần mềm tùy ý.

3. Giải thích vận tốc tại thời gian tương ứng điểm uốn.

Giải:

TXD

  ; 

a: Ta có

2

(t)

S'' 12t 12t 2

3 3

t 6 S '' 0 3 3 t 6

  

 

 

 

 

 



Suy ra

3 3 17 6 3

A ;

6 36

   

  

  và

3 3 17 6 3

B ;

6 36

    

 

  là hai điểm uốn của đồ

thị S(t)

 Ý nghĩa

 Với

3 3 17 6 3

A ;

6 36

   

  

  vận tốc đạt cực tiểu sau

3 3

6



s với quãng đường

đi được

17 6 3

36





m

 Với

3 3 17 6 3

B ;

6 36

    

 

  vận tốc đạt cực đại sau

3 3

6



s với quãng đường đi

được

17 6 3

36

 

m

b: Hàm vận tốc

3 2 S' 4t 6t 2t(t)

t 0

1 S' 0 t 2

t 1

  

 



  



 



c :Giải thích

Với

3 3

t 6





vận tốc đạt giá trị cực tiểu với độ lớn

3

9 m/s

Với

3 3

t 6





vận tốc đạt giá trị cực tiểu với độ lớn

3

9 m/s

Bài 6.

Lượng điện tích Q tính bằng đơn vị culông (C) đi qua 1 điểm trong một sợi

dây điện tính tới thời gian t (giây) là:

 

3 2 Q t t t t   2 6 2 

1. Tìm thời gian tương ứng với điểm uốn của đồ thị hàm Q(t) và giải thích ý nghĩa

của

điểm uốn.

2. Vẽ đồ thị hàm Q(t) và hàm cường độ dòng điện.

3. Vẽ tiếp tuyến với đồ thị hàm cường độ dòng điện tại thời gian. Hãy giải thích ý

nghĩa tiếp tuyến tại điểm này.

Giải:

 

3 2 Q t t t t   2 6 2 

 

2 Q t t t ' 3 4 6  

Q t t '' 6 4  

2. Tiếp tiến với đồ thị hàm cường độ dòng điện tại t 0 là

22 y 3



Ý nghĩa:

Tại điểm

0

2

3

t  thì đồ thị có cực trị và đổi chiều. Cường độ dòng điện I tại thời

điểm đó là thấp nhất và bắt đầu tăng.

Bài 6.

Chi tiêu cho các loại thuốc ở Massachusetts bắt đầu chậm lại một phần sau khi tiểu

bang yêu cầu bệnh nhân sử dụng thuốc không có tên thương mại và hạn chế phạm

vi của các loại thuốc có sẵn cho chương trình. Hàng năm chi tiêu dược phẩm (tính

bằng triệu đô la) từ năm 1999 đến năm 2004 được cho bởi hàm :

 

3 2 S t 1 10 93 583      0 t 5  

Trong đó t được tính bằng năm với t = 0 tương ứng với năm 1999. Tìm điểm uốn

của S và giải thích kết quả của bạn.

Giải:

Ta có :

 

 

t

t

S'' 10 20.

S'' 0 t 1,8896s

 

  

Tọa độ điểm uốn U(1,8896;783,76) : tốc độ chi tiêu tiêu dược phẩm đạt cực đại

khoảng tháng 11 năm 2000 với mức chi tiêu xấp xỉ 783,76 triệu đô la

Bài 6.

Doanh thu cho Google tính từ năm 1999 (t = 0) đến năm 2003 (t = 4) đươc xấp xỉ

bởi hàm

 

3 2 R t 24 49 41 0    (0 t 4) 

R(t) được tính là triệu đô la. Tìm điểm uốn của R(t) và giải thích kết quả. Vẽ đồ thị

hàm số để minh họa.

Giải :

Ta có :

R '' 149 99.

R '' 0 t 0,

 

  

Tọa độ điểm uốn

A 0,6652;12,94  :Tốc độ doanh thu cho Google thấp nhất vào

khoảng tháng 8 năm 2000 với doanh thu xấp xỉ 12,94 triệu đô la

 Vẽ đồ thị :

Đồ thị hàm

 

3 2 R t 24 49 41 0   

CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN .....................................................................................

Như vậy, ta đã đi từ những vấn đề chung đến bài toán riêng khá phức tạp đòi hỏi

nhiều công việc tính toán với người giải quyết bài toán. Tuy nhiên, với sự hỗ trợ của

công cụ vẽ đồ thị,tiện ích soạn thảo công thức toán học Mathtype việc giải quyết,

khảo sát bài toán trở nên dễ dàng, sinh động, trực quan hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................

[1] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm,

Ngô Thu Lương, Đặng Văn Vinh, Nguyễn Hữu Hiệp, Hoàng Hải Hà, Phùng

Trọng Thực, Đậu Thế Phiệt , Nguyễn Thị Xuân Anh. Giáo trình Giải tích 1. Nhà

xuất bản Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh.

[2] .slideshare/phongtnk31/mot-so-bai-toan-ung-dung-thuc-te