Tài liệu gồm 16 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa – mũ – lôgarit có chứa tham số; đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2. HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Định nghĩa: Hàm số y x với được gọi là hàm số lũy thừa. 2. Tập xác định Tập xác định của hàm số y x là với là số nguyên dương với là số nguyên âm hoặc bằng 0 với không nguyên. 3. Đạo hàm Hàm số y x với có đạo hàm với mọi x 0 và 1 x x. 4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng y x 0. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm. Khi x 0 hàm số luôn đồng biến. Trong trường hợp này 0 lim x x do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận. Khi 1 0 0 y x x hàm số luôn nghịch biến. Trong trường hợp này 0 lim 0 do đó đồ thị hàm số nhận trục Ox là đường tiệm cận ngang và trục Oy là đường tiệm cận đứng. 5. Đồ thị hàm số lũy thừa a y x trên khoảng 0 Đồ thị hàm số y x luôn đi qua điểm I. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa: Cho số thực dương a 1. Hàm số x y a được gọi là hàm số mũ cơ số a. 2. Tập xác định: P x y a xác định khi P x xác định. Đối với y a thì có D. Tập giá trị của hàm số mũ là T. 3. Đạo hàm: Công thức thừa nhận. 4. Đồ thị hàm số mũ: x y a. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm ngang. Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1) và (1;a) nằm về phía bên trên trục hoành x y a x. HÀM SỐ LÔGARIT 1. Định nghĩa Hàm số dạng log a y x a a được gọi là hàm số logarit cơ số a. 2. Tập xác định và tập giá trị Tập xác định: D 0. Tập giá trị: T. 3. Tính đơn điệu và đồ thị Khi a 1 thì hàm số loga y x đồng biến trên D khi đó nếu log log a a f x g x f x g x Khi 0 1 a thì hàm số loga y x nghịch biến trên D khi đó nếu: log log. File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Bài viết trình bày phương pháp tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12 chương 2. 1. Phương pháp tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là tập các giá trị $x \in R$ sao cho tồn tại $f(x) \in R.$ • Hàm số mũ $y = {a^{\varphi (x)}}$ xác định khi: + Nếu $a > 0$ và $\varphi (x)$ xác định. + Nếu $a = 0$ thì $\varphi (x) \ne 0.$ + Nếu $a < 0$ thì $\varphi (x) \in Z.$ • Hàm số logarit $y = {\log _a}\varphi (x)$ xác định khi $a > 0$, $a \ne 1$ và $\varphi (x)$ xác định, $\varphi (x) > 0.$ Trong trường hợp có mẫu số thì phải có điều kiện mẫu số xác định và khác $0$, nếu có biểu thức chứa ẩn số trong dấu căn bậc chẵn, biểu thức phải xác định và không âm. 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_2}(3x + 4)} .$ Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\\ {{{\log }_2}(3x + 4) \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\\ {3x + 4 \ge 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 3x + 3 \ge 0$ $ \Leftrightarrow x \ge – 1.$ Vậy tập xác định $D = [ – 1, + \infty ).$ Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số:
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số:
Đáp án:
Ví dụ 4: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_2}\left( {7 – 2x – {x^2}} \right)} .$ Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7 – 2x – {x^2} > 0}\\ {{{\log }_2}\left( {7 – 2x – {x^2}} \right) \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 7 – 2x – {x^2} \ge 1$ ${x^2} + 2x – 6 \le 0$ $ \Leftrightarrow – 1 – \sqrt 7 \le x \le – 1 + \sqrt 7 .$ Vậy tập xác định là $D = \left[ { – 1 – \sqrt 7 , – 1 + \sqrt 7 } \right].$ Ta có $\forall x \in D$: ${\log _2}\left( {7 – 2x – {x^2}} \right) \ge 0$ $ \Rightarrow y \ge 0.$ Vậy tập giá trị của hàm số là $[0, + \infty ).$ Ví dụ 5: Tìm tập xác định của các hàm số:
Ví dụ 6: Tìm tập xác định của các hàm số:
Ví dụ 7: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \log \left( { – {x^2} + 3x + 4} \right)$ $ + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – x – 6} }}.$ Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – {x^2} + 3x + 4 > 0}\\ {{x^2} – x – 6 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 1 < x < 4}\\ {x < – 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 3 < x < 4.$ Tập xác định của hàm số là $D = (3;4).$ [ads] Ví dụ 8: Tìm miền xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_3}\left( {\sqrt {{x^2} – 3x + 2} + 4 – x} \right)} .$ Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 3x + 2 \ge 0}\\ {\sqrt {{x^2} – 3x + 2} + 4 – x \ge 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1\:{\rm{hoặc}}\:x \ge 2}\\ {\sqrt {{x^2} – 3x + 2} \ge x – 3} \end{array}} \right.$ Giải ${\sqrt {{x^2} – 3x + 2} \ge x – 3}$, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 3x + 2 \ge 0}\\ {x \le 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {2 \le x \le 3} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 3}\\ {{x^2} – 3x + 2 \ge {{(x – 3)}^2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 3}\\ {3x \ge 7} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge 3.$ Suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {x \ge 2} \end{array}} \right.$ Vậy $D = ( – \infty ,1] \cup [2, + \infty ).$ Ví dụ 9: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{1 – x}} – \frac{1}{{1 + x}}} \right)} .$ Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \pm 1}\\ {\frac{1}{{1 – x}} – \frac{1}{{1 + x}} > 0}\\ {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{1 – x}} – \frac{1}{{1 + x}}} \right) \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \pm 1}\\ {\frac{{2x}}{{1 \cdot {x^2}}} > 0}\\ {\frac{{2x}}{{1 – {x^2}}} \ge 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne \pm 1}\\ {\frac{{{x^2} + 2x – 1}}{{1 – {x^2}}} \ge 0} \end{array}} \right.$ Xét dấu của $P = \frac{{{x^2} + 2x – 1}}{{1 – {x^2}}}$ bằng phương pháp khoảng:  Vậy tập xác định của hàm số là $D = [ – 1 – \sqrt 2 , – 1) \cup [ – 1 + \sqrt 2 ,1).$ Ví dụ 10: Tìm tập xác định của hàm số: $y = {2^{\sqrt {\left| {x – 3} \right| – |8 – x|} }}$ $ + \sqrt {\frac{{ – {{\log }_{0,3}}(x – 1)}}{{\sqrt {{x^2} – 2x – 8} }}} .$ Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {|x – 3| – |8 – x| \ge 0}\\ {x – 1 > 0}\\ {{{\log }_{0,3}}(x – 1) \le 0}\\ {{x^2} – 2x – 8 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{(x – 3)}^2} \ge {{(8 – x)}^2}}\\ {x > 1}\\ {x – 1 \ge 1}\\ {x < – 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge \frac{{11}}{2}.$ Vậy $D = \left[ {\frac{{11}}{2}, + \infty } \right).$ Ví dụ 11: Với các giá trị nào của $m$ thì hàm số sau đây xác định với mọi $x ∈ R$: $y = \log \sqrt {\cos 2x + m\cos x + 4} .$ Đặt $t = \cos x$, $ – 1 \le t \le 1$, ta có: $\cos 2x + m\cos x + 4$ $ = 2{\cos ^2}x – 1 + m\cos x + 4$ $ = 2{t^2} + mt + 3.$ Hàm số đã cho xác định với mọi $x$ thuộc $R$ khi và chỉ khi $2{t^2} + mt + 3 > 0$ $\forall t \in \left[ { – 1,1} \right].$ Đặt $f(t) = 2{t^2} + mt + 3$, ta có: $f(t) > 0$ $\forall t \in \left[ { – 1,1} \right]$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta < 0\:\left( 1 \right)\\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta \ge 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1 < 1 < {t_1} \le {t_2}}\\ {{t_1} \le {t_2} < – 1 < 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \end{array} \right.\:\left( 2 \right)$ Ta có: $\Delta = {m^2} – 24$, $f(1) = m + 5$, $f( – 1) = – m + 5.$ Dấu $Δ$: $(1) \Leftrightarrow – 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 $ $(3).$ $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le – 2\sqrt 6 \:{\rm{hoặc}}\:m \ge 2\sqrt 6 \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(1) > 0}\\ {\frac{s}{2} – 1 > 0} \end{array}} \right.\:{\rm{hoặc}}\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f( – 1) > 0}\\ {\frac{s}{2} + 1 < 0} \end{array}} \right. \end{array} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(1) > 0}\\ {\frac{s}{2} – 1 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m + 5 > 0}\\ { – \frac{m}{4} – 1 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 5 < m < – 4.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f( – 1) > 0}\\ {\frac{s}{2} + 1 < 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { – m + 5 > 0}\\ { – \frac{m}{4} + 1 < 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 4 < m < 5.$ Suy ra $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 5 < m \le – 2\sqrt 6 }\\ {2\sqrt 6 \le m < 5} \end{array}} \right.$ Hợp các tập nghiệm ở $(3)$ và $(4)$ ta có $ – 5 < m < 5.$ Vậy $D = ( – 5;5).$ Ví dụ 12: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_3}\left( {\frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}}} \right)} .$ Hàm số xác định khi: ${\log _3}\left( {\frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}}} \right) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}} \ge 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{\log _a^2x – {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_a}x \ge 1}\\ { – 1 < {{\log }_a}x \le 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge a\\ \frac{1}{a} < x \le 1 \end{array} \right.\:{\rm{nếu}}\:a > 1\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \le a\\ 1 \le x < \frac{1}{a} \end{array} \right.\:{\rm{nếu}}\:0 < a < 1 \end{array} \right.$ Vậy: + Với $a>1$: $D = \left( {\frac{1}{a},1} \right] \cup [a, + \infty ).$ + Với $0<a<1$: $D = \left( {0,{\rm{ }}a} \right] \cup \left[ {1,\frac{1}{a}} \right).$ Ví dụ 13: Tìm các giá trị của m để hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} – 2x + 3m} \right)} }}$ xác định $\forall x \in R.$ Hàm số xác định $\forall x \in R$ khi ${\log _3}\left( {{x^2} – 2x + 3m} \right) > 0$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 3m > 1$ $ \Leftrightarrow \quad {x^2} – 2x + 3m – 1 > 0$ $\forall x \in R.$ Vì $a = 1 > 0$ nên $\Delta ‘ < 0$ $ \Leftrightarrow 1 – (3m – 1) < 0$ $ \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}.$ Với $m > \frac{2}{3}$, hàm số đã cho xác định $\forall x \in R.$ Ví dụ 14: Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt {mx – m + 1} }}{{\log \left[ {(m – 1)x – m + 3} \right]}}.$
|
