Bài tập rút gọn biểu thức lớp 8 năm 2024

- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc nhiều phân thức được nối với nhau bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên phân thức.

- Biến đổi biểu thức hữu tỉ là bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta đưa các biểu thức hữu tỉ về phân thức.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Ta tìm điều kiện để tất cả các mẫu thức khác 0

Ví dụ: Tìm x để các biểu thức hữu tỉ sau xác định.

1. A=x2x−8.x2+64x−16+19

2. B=x2+18+x4.2x−1−2x+1

3. C=x2+xx2−5x+6+1x−3:1x−1

Lời giải:

1. Biểu thức A xác định⇔x−8≠0x≠0⇔x≠8x≠0

Vậy x≠0và x≠8 thì biểu thức A xác định.

2. Biểu thức B xác định⇔x−1≠0x+1≠0⇔x≠1x≠−1⇒x≠±1

Vậy x≠±1 thì biểu thức B xác định.

3. Biểu thức C xác định ⇔x2−5x+6≠0x−3≠0x−1≠0

⇔x−3x−2≠0x≠3x≠1⇔x≠2x≠3x≠1

Vậy x≠2;x≠1;x≠3 thì biểu thức C xác định.

Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước

Bước 1: Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đã học để biến đổi

Bước 2: Biến đổi cho tới khi được một phân thức mới có dạng AB

Ví dụ: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

1. A=2+1x2−1x với x≠0;x≠12

2. B=x−8+12xx−7+6x với x≠0;x≠1;x≠6.

Lời giải:

1. A=2+1x2−1x

⇔A=2xx+1x2xx−1x

⇔A=2x+1x2x−1x

⇔A=2x+1x:2x−1x

⇔A=2x+1x.x2x−1

⇔A=2x+1xx2x−1=2x+12x−1

Vậy A=2x+12x−1với x≠0;x≠12.

2. B=x−8+12xx−7+6x

⇔B=x2x−8xx+12xx2x−7xx+6x

⇔B=x2−8x+12xx2−7x+6x

⇔B=x2−8x+12x:x2−7x+6x

⇔B=x2−8x+12x.xx2−7x+6

⇔B=x−2x−6x.xx−6x−1

⇔B=x−2x−6xxx−6x−1

⇔B=x−2x−1 với x≠0;x≠1;x≠6.

Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số đã học để biến đổi.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

B=4x2−112x−1−12x+1−1 với x≠±12.

Lời giải:

B=4x2−112x−1−12x+1−1

⇔B=4x2−12x+12x−12x+1−2x−12x−12x+1−2x−12x+12x−12x+1

⇔B=4x2−12x+1−2x−1−2x−12x+12x−12x+1

⇔B=4x2−12x+1−2x+1−4x2+12x−12x+1

⇔B=4x2−1−4x2+34x2−1

⇔B=4x2−1−4x2+34x2−1

⇔B=−4x2+3 với x≠±12.

Ví dụ 2: Cho biểu thức

P=x2+2x2x+12+x−6x+108−6x2xx+6

1. Tìm điều kiện xác định của P.

2. Rút gọn P.

3. Tìm x để P = 32.

Lời giải:

1. P có nghĩa ⇔2x+12≠0x≠02xx+6≠0

⇔2x≠−12x≠0x≠0;x≠−6⇔x≠0x≠−6

Vậy để P có nghĩa thì x≠0 và x≠−6.

2. P=x2+2x2x+12+x−6x+108−6x2xx+6

⇔P=x2+2x2x+6+x−6x+108−6x2xx+6

⇔P=xx2+2x2xx+6+x−6.2x+62xx+6+108−6x2xx+6

⇔P=x3+2x22xx+6+2x2−722xx+6+108−6x2xx+6

⇔P=x3+2x2+2x2−72+108−6x2xx+6

⇔P=x3+2x2+2x2−72+108−6x2xx+6

⇔P=x3+4x2−6x+362xx+6

⇔P=x3+216+4x2−6x+36−2162xx+6

⇔P=x3+216+4x2−6x−1802xx+6

⇔P=x+6x2−6x+36+x+64x−302xx+6

⇔P=x+6x2−6x+36+4x−302xx+6

⇔P=x+6x2−6x+36+4x−302xx+6

⇔P=x+6x2−2x+62xx+6

⇔P=x2−2x+62x.

3. Để P = 32⇒x2−2x+62x=32

⇔2x2−2x+6=2x.3

⇔2x2−4x+12=6x

⇔2x2−4x+12−6x=0

⇔2x2−10x+12=0

⇔2x2−5x+6=0

⇔2x2−2x−3x+6=0

⇔2xx−2−3x−2=0

⇔2x−2x−3=0

⇔x−2=0x−3=0

⇔x=2 (tm)x=3 (tm)

Vậy để P = 32thì x=2hoặc x=3.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1. Kết quả của phép tính (x -2)(x +5) bằng ?

1. x2 - 2x - 10

2. x2 + 3x - 10

3. x2 - 3x - 10

4. x2 + 2x - 10

Câu 2. Biểu thức rút gọn của biểu thức A = (2x - 3)(4 + 6x) - (6 - 3x)(4x - 2) là ?

1. 0

2. 40x

3. - 40x

4. Kết quả khác.

Câu 3. Rút gọn biểu thức A = (x + 2).(2x - 3) + 2 ta được:

1. 2x2 + x - 4

2. x2 + 4x - 3

3. 2x2 – 3x + 2

4. –2x2 + 3x - 2

Câu 4. Rút gọn biểu thức A = (2x2 + 2x).(-2x2 + 2x ) ta được:

1. 4x4 + 8x3 + 4x2

2. –4x4 + 8x3

3. –4x4 + 4x2

4. 4x4 - 4x2

Câu 5. Tìm x biết: (3x + 1). (2x- 3) - 6x.(x + 2) = 16

1. x = 2

2. x = - 3

3. x = - 1

4. x = 1

Câu 6. Rút gọn biểu thức: A = (x + 2).(x2 - 2x + 4) - x.(x2 + 2)

1. 2x3 - 2x

2. x3 – 8 – 2x

3. -8- 2x

4. x3 + 8

Câu 7. Rút gọn biểu thức: B = (x - 1).(2x + 2) - 2.(x + 2).(x - 1)

1. x2 + 2

2. x2 – 2x

3. – 2x – 2

4. – 2x + 2

Câu 8. Rút gọn biểu thức: C = 3(2x - 3).(2x + 3) - 12x.(x + 1) + x ta được C = ax + b. Tính a + b

1. -38

2. 27

3. – 36

4. 28

Câu 9. Rút gọn biểu thức A= (2x + 2). (4x2 – 4x + 4) – 8x.(x - 1). (x + 1) có dạng A= ax + b. Tính a- b?

1. 1

2. 2

C.0

4. -1

Câu 10. Rút gọn biểu thức A = (2x + 3).(2x - 4)2 - 8.(x3 + 6)

1. -20x2 – 16x

2. 20x2 – 16x

3. -16x – 20

4. -20x2 - 20

Câu 11. Thực hiện phép tính (5x – 1). (x + 3) – (x - 2)(5x – 4) ta có kết quả là ?

1. 28x - 3

2. 28x + 5

3. 28x - 11

4. 28x - 8

Câu 12. Rút gọn biểu thức A= (x - 2y). (x2 – 1) – x(x2 - 2xy + 1)

1. 2x – 2y

2. – 2x + 2y

3. 2x + 2y

4. -2x – 2y

Câu 13. Rút gọn của biểu thức A = (2x - 3). ( 4 + 6x) – (6 – 3x). ( 4x – 2) là ?

A.0

2. x2 + 20x

3. 12x2 – 20x

4. Kết quả khác

Câu 14. Rút gọn biểu thức A = (x - 2y).(x2 + xy) - (xy - y2).(x + y)

1. x3 + y3 - 2x2y - 2xy2

2. x3 + y3 - 2xy +2xy2

3. x3 + y3 - 2x2y + 2xy

4. x3 + y3 + 2xy

Câu 15. Rút gọn biểu thức B = (x - y + 1).(x + xy) - (y - xy).(x - 1)

1. x2y + x2 - xy2 + x + y

2. 2x2y + x2 - xy2 -x + y

3. -2xy + x2 - xy2 + x - y

4. 2x2y - 2xy + x2 - xy2 + x + y

Hướng dẫn giải

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Đáp án B D A C C C D A C A C B D A D

Câu 1.

Ta có ( x - 2 )( x + 5 ) = x( x + 5 ) - 2( x + 5 ) = x2 + 5x - 2x - 10 = x2 + 3x - 10.

Câu 2.

Ta có A = ( 2x - 3 )( 4 + 6x ) - ( 6 - 3x )( 4x - 2 ) = ( 8x + 12x2 - 12 - 18x ) - ( 24x - 12 - 12x2 + 6x ) = 12x2 - 10x - 12 - 30x + 12x2 + 12 = 24x2 - 40x.

Câu 3.

Ta có: A = (x + 2).(2x - 3) + 2

A = x.(2x – 3) + 2. (2x – 3) + 2

A = 2x2 – 3x + 4x - 6 + 2

A = 2x2 + x – 4

Câu 4.

Ta có: A = (2x2 + 2x).(-2x2 + 2x )

A = 2x2.(-2x2 + 2x) + 2x.(-2x2 + 2x)

A = 2x2.(-2x2) + 2x2.2x + 2x. (-2x2) + 2x .2x

A = -4x4 + 4x3 - 4x3 + 4x2

A = -4x4 + 4x2

Câu 5.

(3x + 1).(2x - 3) - 6x.(x + 2) = 16

⇔ 3x(2x - 3) + 1.(2x – 3 ) - 6x. x – 6x . 2 = 16

⇔ 6x2 – 9x + 2x – 3 – 6x2 - 12x = 16

⇔ -19x = 16 + 3

⇔ - 19x = 19

Vậy x = -1

Câu 6.

A = (x + 2)(x2 - 2x + 4) - x(x2 + 2)

A = x3 - 23 - x3 - 2x

A = -8 - 2x

Câu 7.

Ta có: B = (x - 1)(2x + 2) - 2(x + 2)(x - 1)

B = (x - 1)(x + 1)2 - 2(x2 - x + 2x - 2)

B = 2(x2 - 1) - 1(x2 + x - 2)

B = 2x2 - 2 - 2x2 - 2x + 4

B = -2x + 2

Câu 8.

Ta có: C = 3(2x - 3)(2x + 3) - 12x(x + 1) + x

C = 3(4x2 - 9) - (12x2 + 12x) + x

C = 12x2 - 27 - 12x2 - 12x + x

C = -11x - 27

Vậy a = -11; b = -27 nên a + b = - 38

Câu 9.

A = (2x + 2)(4x2 - 4x + 4) - 8x(x - 1)(x + 1)

A = (2x)3 + 23 - 8x(x2 - 1)

A = 8x3 + 8 - 8x3 + 8x

A = 8x + 8

Vậy a = 8; b = 8 nên a- b = 0

Câu 10.

Ta có: A = (2x + 3)(2x - 4)2 - 8(x3 + 6)

A = (2x + 3)(4x2 - 16x + 16) - 8x3 - 48

A = 8x3 - 32x2 + 32 + 12x2 - 48x + 48 - 8x3 - 48

A = (8x3 - 8x3) + (-32x2 + 12x2) + (32x - 48x) + (48 - 48)

A = -20x2 - 16x

Câu 11.

Ta có: (5x - 1)(x + 3) - (x - 2)(5x - 4) = 5x(x + 3) - (x + 3) - x(5x - 4) + 2(5x - 4) = 5x2 + 15x - x - 3 - 5x2 + 4x + 10x - 8 = 28x - 11

Câu 12.

A = (x - 2y).(x2 - 1) - x(x2 - 2xy + 1)

A = x(x2 - 1) - 2y(x2 - 1) - x3 + 2x2y - x

A = x3 - x - 2x2y + 2y - x3 + 2x2y - x

A = (x3 - x3) + (2x2y - 2x2y) + (-x - x) + 2y

A = 0 + 0 - 2x + 2y

A = -2x + 2y

Câu 13.

Ta có: A = (2x - 3)(4 + 6x) - (6 - 3x)(4x - 2) = (8x + 12x2 - 12 - 18x) - (24x - 12 - 12x2 + 6x) = 12x2 - 10x - 12 - 30x + 12x2 + 12 = 24x2 - 40x