Edusmart.vn giới thiệu tới quý vị thầy cô và các em học sinh chuyên đề Chuyên Đề Bất Đẳng Thức. Nội dung Đề kiểm tra bao gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khách quan thời gian làm bài 20 phút giúp đánh giá năng lực học sinh sau khi kết thúc bài học. Show
Tuyển tập đề kiểm tra, đề thi và bài tập chuyên đề toán 10Danh sách các đề kiểm tra 15 phút toán 10 theo từng bài, kiểm tra 1 tiết (45 phút) toán 10 theo từng chương, kiểm tra học kỳ 1 toán 10, kiểm tra học kỳ 2 toán 10, kiểm tra khảo sát toán 10 cả năm, các chuyên đề toán lớp 10 tất cả đều có lời giải chi tiết phục vụ cho công việc giảng dạy của quý thầy cô và việc tự học cảu các em học sinh, link danh sách tài liệu được để bên dưới bài viết. Dưới đây là chuyên đề Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Chuyên Đề Bất Đẳng ThứcĐể tải các tài liệu file word (có đáp án và lời giải chi tiết) quý thầy cô vui lòng liên hệ số hotline 0979263759 (Call, Zalo), hoặc địa chỉ mail [email protected] Nội dung chuyên đề được biên soạn bao gồm lý thuyết, bài tập ví dụ, bài tập luyện tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết, qua đó giúp các em hệ thống được kiến thức cốt lõi trong chương học và phân dạng phương pháp giải bài tập, hình thành phản xạ có thể giải quyết các dạng bài tập tương tự tiếp theo. Quý thầy cô đóng góp đề thi của trường mình cho nguồn tài liệu thêm phong phú xin gửi về địa chỉ mail: [email protected]. Edusmart Xin chân thành cảm ơn sự đóng góp của quý thầy cô. Hỗ trợ các em học sinh lớp 10 tổng hợp lại kiến thức từng chuyên đề trong chương trình toán học lớp 10 (Đại số và hình học). Chúng tôi xin giới thiệu chuỗi bài học tổng hợp từng chuyên đề bao gồm lý thuyết cần nhớ kèm các dạng bài tập (Tự luận và trắc nghiệm) tiêu biểu có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi. Chuyên đề: Bất phương trình và bất đẳng thức thuộc chương IV trong SGK Toán đại lớp 10, được đánh giá là một chuyên đề khó với các bài tập cần sự linh hoạt trong việc sử dụng kiến thức căn bản và nâng cao. Dưới đây là Lý thuyết cần nhớ kèm các dạng bài tập hay của chuyên đề được chúng tôi tổng hợp và biên soạn giới thiệu đến các bạn. Mời các bạn tham khảo chi tiết tại đây. Tham khảo thêm:
Chuyên đề: Bất đẳng thức và Bất phương trình Lớp 10Để quá trình tiếp thu kiến thức hiệu quả, các em cần ghi nhớ nội dung lý thuyết trước, sau đó áp dụng vào giải các dạng bài tập (Tự luận + Trắc nghiệm) chúng tôi đã sưu tầm.  IV. Bất phương trình bậc nhất 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by <= c Trong đó a và b là hai số không đồng thời bằng 0. Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (∆): ax + by = c. Bước 2. Lấy một điểm Mo (xo; yo) không thuộc (∆) (ta thường lấy gốc tọa độ O) Bước 3. Tính axo + byo với c. Bước 4. Kết luận Nếu axo + byo < c thì nửa mặt phẳng bờ (∆) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by <= c. Nếu axo + byo > c thì nửa mặt phẳng bờ (∆) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by <= c. 2. Bỏ bờ miền nghiệm của bất phương trình (1) ta được miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c. Miền nghiệm của các bất phương trình ax + by >= c và ax + by > c được xác định tương tự. ... Nội dung chuyên đề còn tiếp, mời các em xem full tại file tải về miễn phí... File tải Chuyên đề bất đẳng thức và bất phương trình Lớp 10 (Lý thuyết + Bài tập) (Đầy đủ)CLICK NGAY vào đường dẫn bên dưới để tải về nội dung full chuyên đề bất đẳng thức và bất phương trình Lớp 10, hỗ trợ các em ôn luyện hiệu quả. Hy vọng tài liệu sẽ hữu ích cho các em học sinh và quý thầy cô giáo tham khảo. ►Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích hỗ trợ ôn luyện thi môn toán khác được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi. Với loạt Các dạng bài tập Bất đẳng thức và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10. Các dạng bài tập Bất đẳng thức và cách giải1. Lý thuyết
Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a < b” được gọi là bất đẳng thức. Nếu mệnh đề “a < b ⇒ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d. Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d.
Tên gọi và điều kiện Nội dung Cộng hai vế của bất đẳng thức với số bất kì a<b⇔a+c<b+c Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c > 0 a<b⇔ac<bc c < 0 a<b⇔ac>bc Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều a>bc>d⇒a+c>b+d Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều 0<a<b0<c<d⇒ac<bd Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa n∈ℕ* a<b⇔a2n+1<b2n+1 n∈ℕ* và a > 0 a<b⇔a2n<b2n Khai căn hai vế của một bất đẳng thức a > 0 a<b⇔a<b a bất kỳ a<b⇔a3<b3 Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.
∀a≥0; b≥0 thì ta có: a+b2≥ab. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. a+1a≥2, ∀a>0. Hệ quả 2: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau. Hệ quả 3: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
Ta có các tính chất cho trong bảng sau: Điều kiện Nội dung |x| ≥0, |x| ≥x, |x| ≥−x a > 0 |x| ≤a⇔−a≤x≤a |x| ≥a⇔x≤−ax≥a
2. Các dạng toán Dạng 1.1: Chứng minh bất đẳng thức nhờ định nghĩa
Để chứng minh A≥B (hoặc A > B), ta làm các bước sau: Bước 1: xét hiệu A – B. Bước 2: chứng minh A−B≥0 ( hoặc A – B > 0). Sử dụng linh hoạt kiến thức ở phần lý thuyết để chứng minh ở bước 2. Bước 3: kết luận. Bước 4: xét A = B khi nào?
Ví dụ 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ab+ba≥2 . Hướng dẫn: Ta có: ab+ba−2=a2+b2−2abab=(a−b)2ab≥0 (do a, b > 0) Vậy ab+ba≥2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý, chứng minh rằng: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca . Lời giải: Xét biểu thức: M=a2+b2+c2–ab+bc+ca . Suy ra: 2M=2a2+2b2+2c2−2ab–2bc–2ca=(a2–2ab+b2)+(b2–2bc+c2)+(c2–2ca+a2)=a–b2+b–c2+c–a2 Vì: a–b2 ≥0; b–c2≥0; c–a2≥0. Do đó a–b2+b–c2+c–a2≥0 . Suy ra 2a2+2b2+2c2−2ab–2bc–2ca≥0 hay a2+b2+c2–ab+bc+ca≥0 Vậy a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Dạng 1.2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si: - Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm - Bất đẳng thức Cô-si thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích - Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau - Bất đẳng thức Cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng: Đối với hai số: x2+y2≥2xy; x+y≥2xy với mọi x;y≥0 Đối với ba số: abc≤a3+b3+c33 ; a+b+c≥3abc3 với mọi a;b;c≥0
Ví dụ 1: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z. Lời giải: Vì x, y, z là các số thực dương suy ra xyz,yzx,zxy là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: xyz+yxz≥2.xyz.yxz=2z (1) xyz+zxy≥2.xyz.zxy=2y (2) zxy+yzx≥2.zxy.yzx=2x (3) Cộng các vế của (1), (2) và (3) ta được 2xyz+yzx+zxy≥21x+1y+1z Hay xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1a+4b+9c≥36 ? Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương ta có: 1a+36a≥21a.36a=12 (1) 4b+36b≥24b.36b=24 (2) 9c+36c≥29c.36c=36 (3) Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta được 1a+4b+9c+36(a+b+c)≥72⇒1a+4b+9c≥36 (do a + b + c = 1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1a=36a; 4b=36b; 9c=36c và a + b + c = 1 hay a=16; b=13; c=12 . Dạng 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nhờ bất đẳng thức
Vận dụng các tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,… để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+16x, x>0 . Lời giải: Ta có: P=x2+16x =x2+8x+8x . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số, ta có: x2+8x+8x≥3x2.8x.8x3=12. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2=8x=8x⇔x=2 . Ví dụ 2: Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 300 m, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? Lời giải: Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a, b (0 < a, b < 150) (đơn vị: mét) Từ giả thiết, ta có a + b = 300 : 2 = 150 (m) Diện tích hình chữ nhật là S=a.b (m2) . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a.b≤a+b2⇔a.b≤75⇔ab≤5625⇔S≤5625. Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 5625 m2 . Dấu bằng xảy ra a=ba+b=150⇔a=b=75. 3. Bài tập tự luyện 3.1 Tự luận: Câu 1: Cho a, b là hai số tùy ý. Chứng minh rằng : a2+b22≥a+b22. Lời giải: Xét hiệu: a2+b22−a+b22 = 2a2+b24−a2+2ab+b24 \= 142a2+2b2−a2−b2−2ab = 14a−b2≥0 Vậy a2+b22≥a+b22. Dấu “=” xảy ra khi a = b. Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực, chứng minh rằng: a2+b2+c2+d2+e2≥ab+c+d+e . Lời giải: Xét hiệu: 4(a2+b2+c2+d2+e2)−4ab+c+d+e \=a2−4ab+4b2+a2−4ac+4c2+a2−4ad+4d2+a2−4ac+4e2 \=a−2b2+a−2c2+a−2d2+a−2e2≥0 Vậy 4(a2+b2+c2+d2+e2)≥4ab+c+d+e suy ra a2+b2+c2+d2+e2≥ab+c+d+e Dấu “=” xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e. Câu 3: Chứng minh rằng: b+cc+aa+b≥8abc ∀a,b,c≥0 . Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a+b≥2abb+c≥2bcc+a≥2ca⇒a+bb+cc+a≥8abc . Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c . Câu 4: Chứng minh rằng: a2+8a2+4≥4 ∀a . Lời giải: Ta có: a2+8=(a2+4)+4≥2 (a2+4).4( theo bất đẳng thức Cô-si) Do đó: a2+8a2+4≥2a2+4.4a2+4=4 Dấu “=” xảy ra ⇔a2+4=4⇔a=0. Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab≥9 (1) Hướng dẫn: Đặt x = a2+2bc ; y = b2+2ac ; z = c2+2ab ( do a, b, c > 0 nên x, y, z > 0) Ta có: x+y+z=a+b+c2=1 Với x + y + z = 1 và x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta có: x+y+z≥ 3.xyz3 và 1x+1y+1z≥ 3.1xyz3 ⇒x+y+z.1x+1y+1z≥9 Suy ra 1x+1y+1z≥9 hay 1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab≥9 . Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4x4−3x2+9x2 ; x 0.Lời giải: Xét hàm số y=4x4−3x2+9x2=4x2+9x2−3 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 4x2+9x2≥24x2.9x2 =12 ⇒y≥9 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4x4−3x2+9x2 là 9 khi 4x2=9x2⇔x2=32⇔x=±62 . Câu 7: Cho x≥2 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx=x−2x . Lời giải: Ta có fx≥0 và fx2=x−2x2=1x−2x2=18−21x−142≤18⇒0≤fx≤122=24 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 24 đạt được khi x=4 Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y=6−2x+3+2x . Lời giải: Tập xác định của hàm số D=−32;3 . Ta thấy y>0 ∀x∈−32;3 . Có y2=9+26−2x3+2x≥9 ∀x∈−32;3 . Suy ra y≥3 ; ∀x∈−32;3. Dấu bằng xảy ra khi x=−32x=3 . Vậy Min yx∈−32;3=3 . Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 26−2x3+2x≤6−2x+3+2x=9 với ∀x∈−32;3. Suy ra y2≤18,∀x∈−32;3⇒y≤32,∀x∈−32;3. Dấu bằng xảy ra khi 6−2x=3+2x⇔x=34 . Vậy Max yx∈−32;3=32 . Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn ab>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a2b2+b2a2−2ab−2ba−1 . Lời giải: Ta có: P=a2b2+b2a2−2ab−2ba−1 \=a2b2−2ab+1+b2a2−2ba+1−3 \=ab−12+ba−12−3≥−3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab=1ba=1⇔a=b≠0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi ( ). Câu 10: Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được? Lời giải: Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x, y > 0; y là cạnh của bức tường). Ta có: 2x + y = 100 . Diện tích hình chữ nhật là : S=xy=2.x.y2≤Cosi2.x+y222=182x+y2=181002=1250. Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 1250m2 khi x=y2⇔y=2x⇒x=25 m ; y=50m . 3.2 Trắc nghiệm: Câu 1: Cho các bất đẳng thức a > b và c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng
Lời giải: Chọn B. Theo tính chất bất đẳng thức, a>bc>d⇔a+c>b+d . Câu 2: Suy luận nào sau đây đúng?
Hướng dẫn Chọn A. a>b>0c>d>0⇒ac>bd đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều. Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?
Hướng dẫn Chọn D. Ta có 6+a>3+a⇔6+a−3−a>0 ⇔3>0 đúng với mọi số thực a. Câu 4: Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hướng dẫn Chọn D. Các mệnh đề A, B, C đúng. Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: −2>−5 nhưng −22=4<25=−52. Câu 5: Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn Chọn C. Đáp án A sai ví dụ 2>0⇒2.2>2.0 Đáp án B sai với a = 3, b = 2, c = -2. Đáp án C đúng vì −a<−b⇔a>b. Đáp án D sai khi c≤0. Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hướng dẫn Chọn C. Các đáp án A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đáp án D đúng theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm a và b. Đáp án C sai khi c < 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho). Câu 7: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a + b = 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn Chọn C. Với mọi số thực a và b ta luôn có: a.b≤a+b24⇔a.b≤4. Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=2. Câu 8: Gi2−2á trị nhỏ nhất của hàm số fx=2x+3x với x > 0 là:
Hướng dẫn Chọn B. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 2x+3x≥26 suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng 26 . Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x−2+4−x .
Hướng dẫn Chọn B. A=x−2+4−x có tập xác định D=2; 4 . Ta có: A2=2+2x−24−x≥2⇒A≥2 , dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x = 4. Câu 10: Cho các mệnh đề sau ab+ba≥2 I ; ab+bc+ca≥3 II ; 1a+1b+1c≥9a+b+c III Với mọi giá trị của a, b, c dương ta có:
Hướng dẫn Chọn D. Với mọi a, b, c dương ta luôn có: ab+ba≥2ab.ba⇔ab+ba≥2 , dấu bằng xảy ra khi a = b. Vậy (I) đúng. ab+bc+ca≥3ab.bc.ca3⇔ab+bc+ca≥3 , dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (II) đúng. a+b+c.1a+1b+1c≥3abc3.31abc3=9⇒1a+1b+1c≥9a+b+c, dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (III) đúng. Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
