Với bài học này chúng ta sẽ được tìm hiểu về Phương trình chứa ẩn ở mẫu , cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học. Show
ADSENSE YOMEDIA 1. Tóm tắt lý thuyết 1.1. Đặt vấn đề 1.2. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1.3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu 2. Bài tập minh hoạ 3. Luyện tập Bài 5 Chương 3 Đại số 8 3.1 Trắc nghiệm về Phương trình chứa ẩn ở mẫu 3.2. Bài tập SGK về Phương trình chứa ẩn ở mẫu 4. Hỏi đáp Bài 5 Chương 3 Đại số 8
Tóm tắt lý thuyết1.1. Đặt vấn đềChúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x\) Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý: 1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = 1 2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = x\) \( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn. Vậy phương trình vô nghiệm. ⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình. 1.2. Tìm điều kiện xác định của phương trìnhĐối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + ... + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\) điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\.........\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\) Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 2.\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1.\) Giải (2): \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 1) - 4(x - 1) \ne 0\) \( \Leftrightarrow (x - 1)(x - 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\) Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\) 1.3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫuĐể giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 1\) Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\) \( \Leftrightarrow x(x + 1) - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có một nghiệm x = 0. Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\) Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{(x - 5)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{(x - 1)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}\) \( \Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\) Vậy phương trình có một nghiệm x = 5. Bài tập minh họaBài 1: Giải phương trình \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\) Giải Viết lại phương trình dưới dạng: \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\) Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x(x - 5) \ne 0\\2x(x + 5) \ne 0\\2({x^2} - 25) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm 5\end{array} \right.\) Biến đổi phương trình về dạng: \(2{(x + 5)^2} - {(x - 5)^2} = x(x + 25)\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x + 50 - {x^2} + 10x - 25 = {x^2} + 25x\) \( \Leftrightarrow 5x = - 25 \Leftrightarrow x = - 5\) không thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 \ne 0\\7 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 7\\x \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 7\) Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu: \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = - \frac{1}{{x - 7}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} = - \frac{1}{{x - 7}} + \frac{{8(x - 7)}}{{x - 7}}\) \( \Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8(x - 1) \Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8x - 56\) \( \Leftrightarrow x - 8x = - 1 - 56 + 8 \Leftrightarrow - 7x = - 49 \Leftrightarrow x = 7\) không thoả mãn. Vậy phương trình vô nghiệm. Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ: \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} + \frac{1}{{x - 7}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8 + 1}}{{x - 7}} = 8\) \( \Leftrightarrow 1 = 8\), mẫu thuẫn. Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 3: Giải phương trình \({x^2} + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = 3x + \frac{3}{{x - 2}}\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\) Biến đổi phương trình về dạng: \({x^2} - 3x + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 2}} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 1 - 3}}{{x - 2}} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 4}}{{x - 2}} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) * x = 2 loại vì không thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có một nghiệm x = 1. 3. Luyện tập Bài 5 Chương 3 Đại số 8Qua bài giảng Phương trình chứa ẩn ở mẫu này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
3.1 Trắc nghiệm về Phương trình chứa ẩn ở mẫuCác em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Chương 3 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Câu 4-8: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 3.2. Bài tập SGK về Phương trình chứa ẩn ở mẫuCác em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Chương 3 Bài 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập. |