Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với denta

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng: DẠNG 2. VIẾT PTTT KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC HOẶC SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG PHÁP: Gọi M (x + y)(C) là tiếp điểm. Ta có k = g(x) = a, giải phương trình y(x) = a = xy. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Cho hàm số y, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến A với (C) biết hệ số góc k = 1. Lời giải. Tập xác định D = IR. Gọi M (x – y) là tiếp điểm y(x) = k. Phương trình tiếp tuyến tại M là A: y = 1(x – 1). Phương trình tiếp tuyến tại M là A: y = 1(x + 2) + 2 + y = x + 4.

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến (A) của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với d): y = 3x – 2. Lời giải Gọi M là tọa độ tiếp điểm của (A) với (C). Ta có y = 2x – 3. Phương trình tiếp tuyến (A) tại điểm M là (A): y = 3(x – 3) + 2 = 3x – 7. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến A của đồ thị (C), biết A vuông góc với (d): 5y = -x + 300. Hệ số góc của đường thẳng (d) là k = 1. Ta có y = 2x – 1. Gọi M (x + y) là tiếp điểm của tiếp tuyến A.

Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.

Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

$(i)$ Đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ có hệ số góc là $k$.$(ii)$ Hệ số góc của tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $x_0$ là $f'\left( {{x_0}} \right)$.$(iii)$ Hai đường thẳng song song nhau khi có cùng hệ số góc.$(iv)$ Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$

Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và$(ii)$ta có hệ số góc của $\Delta$và $d$ lần lượt là $f'\left( {{x_0}} \right)$ và$k$.Vì $\Delta \parallel d$ nên theo$(iii)$ ta có $f'\left({{x_0}} \right) = k$. Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình$f'\left( {{x}} \right) = k$.Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến củađồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:

Bước 1. Giải phương trình$f'\left( {{x}} \right) = k$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm.Bước 2. Tính ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ để được tiếp điểm$M_0(x_0;y_0)$.Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của$\left( C \right)$ tại$M_0(x_0;y_0)$theo mệnh đề$(iv)$.

Ví dụ 1.Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 1$.

Xem thêm: So Sánh Hình Ảnh Người Lính Trong Bài Thơ Đồng Chí Và Bài Thơ Về Tiểu Đội Xe Không Kính

Giải. Bước 1. Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 2.$Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$

Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của$(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; - 1} \right).$Bước 3. Ta có $f'\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại${M_0}\left( {2; - 1} \right)$ là$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left( C \right): y = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 6x - 1$.

Giải. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình$$f'\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left( 1 \right) = 3\\{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left( 1 \right) = - 5\end{array} \right.$$Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {1;3} \right),{M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$.Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {1;3} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x + 1} \right) - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$

Trong chương trình toán học THPT, cách viết phương trình tiếp tuyến là chủ đề quan trọng đối với các bạn học sinh. Vậy viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm như nào? Kiến thức viết phương trình tiếp tuyến của hàm số?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết và cụ thể về chủ đề trên nhé!. 

Các dạng bài tập về cách viết phương trình tiếp tuyến

• Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M.
• Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước.
• Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm \(M(x_{0},y_{0})\) có dạng:

\(y=f^{‘}(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}\)   (1)

Trong đó \(f^{‘}(x_{0})\) là đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_{0}\).

\(x_{0}; y_{0}\) là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: \(f'(x_{0}); x_{0} và y_{0}\).

Cách viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm 

Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước \(M(x_{0},y_{0})\)

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm \(M(x_{0},y_{0})\) thì công việc cần làm là tìm \(f'(x_{0}); x_{0} và y_{0}\), trong đó \(x_{0}, y_{0}\) chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính \(f'(x_{0})\), rồi thay vào phương trình (1) là xong.

Cách viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của \(\Delta\) có dạng: y = f’x_{0}(x – x_{0}) + y_{0} (2)

Và có tiếp điểm \(M_{0}(x_{0},y_{0})\)

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

\(b = f’_{x_{0}} (a – x_{0}) + f_{x_{0}}\) với \(f_{x_{0}} = y_{0}\)

Phương trình này chỉ chứa ẩn \(x_{0}\), do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm \(x_{0}\).

Sau đó sẽ tìm được \(f’x_{0} và y_{0}\).

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

Cách viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
• Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ \(x_{0}\) của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm \(M_{0}(x_{0}; y_{0})\) với \(y_{0} = f(x_{0})\)
• Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại tiếp điểm \(M_{0}(x_{0}; y_{0})\):

\(y = f'(x_{0})(x – x_{0}) + y_{0}\)

***Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

• Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
• Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì \(k=-\frac{1}{a}\)

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm \(M(x_{_{0}}, y_{0})\) là \(y=a(x-x_{0})+y_{0}\)

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k=-\frac{1}{a}\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm \(M(x_{_{0}}, y_{0})\) là \(-\frac{1}{a}(x-x_{0})+y_{0}\)

Xem chi tiết qua bài giảng của thầy Quốc Chí:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Chuyên đề các phép biến hình: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Xem thêm >>> Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác và Các dạng bài tập

Please follow and like us: