Đã gửi 08-06-2015 - 18:37
Từ các chữ số: 1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà chữ số 1 không đứng cạnh chữ số 6
+,Nếu không có chữ số $1$: $6!=720$ cách lập.
+,Nếu không có chữ số $6$: $6!=720$ cách lập.
+,Xét trường hợp cỏ cả $1$ và $6$, thiếu chữ số $2$, ta vẫn có tổng cộng $720$ cách lập.
Giờ ta xét các trường hợp $1$ và $6$ đứng cạnh nhau, ta biến $16$ hoặc $61$ thành số $a$, như vậy số trường hợp $1$ và $6$ đứng cạnh nhau là $2.5!=240$ cách.
Vậy số trường hợp số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là $480$ cách.
Cùng với các trường hợp thiếu các chữ số $3,4,5,7$, và 2 trường hợp đầu tiên, tổng các trường hợp chữ số $1$ không đứng cạnh chữ số $6$ là $480.5+720.2=3840$ cách.
- hxthanh, nguyenhongsonk612, hoctrocuaZel và 1 người khác yêu thích
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
A.
B.
C.
D.
I. Hoán vị
1. Định nghĩa
- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.
2. Số các hoán vị
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
- Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1
- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: Pn = n!.
- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.
Lời giải:
Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa.
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.
2. Số các chỉnh hợp
- Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .
- Định lí:Ank = n(n−1)...(n−k+ 1)
- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập được bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.
Lời giải:
Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:
Do đó, ta có: A52 = 5.4.3= 60 vectơ thỏa mãn đầu bài.
- Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank = n!(n−k)!; 1 ≤ k ≤n.
b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Vì vậy: Pn = Ann.
III. Tổ hợp
1. Định nghĩa.
- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.
Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.
2. Số các tổ hợp.
Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).
- Định lí: Cnk = n!k!(n−k)!.
Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.
Lời giải:
Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm).
Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là C83 = 56.
3. Tính chất của các số Cnk
a) Tính chất 1.
Cnk = Cnn−k; 0 ≤ k ≤ n.
Ví dụ 6. C83=C85=56.
b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan).
Cn−1k−1 + Cn−1k= Cnk; 1 ≤ k < n
Ví dụ 7. C84+C85=C95=126.
Page 2
I. Hoán vị
1. Định nghĩa
- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.
2. Số các hoán vị
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
- Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1
- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: Pn = n!.
- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.
Lời giải:
Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa.
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.
2. Số các chỉnh hợp
- Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .
- Định lí:Ank = n(n−1)...(n−k+ 1)
- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập được bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.
Lời giải:
Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:
Do đó, ta có: A52 = 5.4.3= 60 vectơ thỏa mãn đầu bài.
- Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank = n!(n−k)!; 1 ≤ k ≤n.
b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Vì vậy: Pn = Ann.
III. Tổ hợp
1. Định nghĩa.
- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.
Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.
2. Số các tổ hợp.
Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).
- Định lí: Cnk = n!k!(n−k)!.
Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.
Lời giải:
Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm).
Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là C83 = 56.
3. Tính chất của các số Cnk
a) Tính chất 1.
Cnk = Cnn−k; 0 ≤ k ≤ n.
Ví dụ 6. C83=C85=56.
b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan).
Cn−1k−1 + Cn−1k= Cnk; 1 ≤ k < n
Ví dụ 7. C84+C85=C95=126.
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
Số các hoán vị của \(10\) phần tử là:
Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Số chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) phần tử là:
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:
Một lớp có \(40\) học sinh. Số cách chọn ra \(5\) bạn để làm trực nhật là:
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là:
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là:
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần lập là $\overline{abcd}$
1) Số có 4 chữ số
Chọn $a,b,c,d$ đều có 7 cách
⇒ Số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số là $7^4$ cách
2) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau
Chọn $a$ có 7 cách
Chọn $b$ có 6 cách
Chọn $c$ có 5 cách
Chọn $d$ có 4 cách
⇒ Số cách lập được số có 4 chữ số đôi một khác nhau là $7.6.5.4=840$ cách
3) $\overline{abcd}$ là số chẵn
Chọn $d$ có 3 cách (2 hoặc 4 hoặc 6)
Chọn $a,b,c$ đều có 7 cách
⇒ Số cách lập được số tự nhiên chẵn có 4 chữ số là $3.7^3=1029$ cách
4) Chọn $d$ có 3 cách (2 hoặc 4 hoặc 6)
Chọn $a$ có 6 cách
Chọn $b$ có 5 cách
Chọn $c$ có 4 cách
⇒ Số cách lập được số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau là: $3.6.5.4=360$ cách
5) Số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số đầu tiên là chữ số 2
Chọn a có 1 cách $(a=2)$
Chọn $b,c,d$ đều có 7 cách
⇒ Số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số đầu tiên là chữ số 2 có $1.7.7.7=343$ cách
6) Chọn $d$ có 6 cách (d=1,2,3,4,6,7)
Chọn $a,b,c$ đều có 7 cách
⇒ Số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số mà không chia hết cho 5 là $6.7.7.7=2058$ cách