Tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán học 12. Nắm chắc lý thuyết, phương pháp tính tích phân cơ bản sẽ giúp các em giải nhanh và chính xác các bài tập liên quan và đạt điểm cao trong các kỳ thi. Vì thế, trong bài viết này, Marathon Education sẽ giúp các em tìm hiểu chi tiết tích phân là gì và những phương pháp tính tích phân cơ bản thường gặp. Show
Định nghĩa tích phân Để học tốt tích phân, trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết tích phân là gì. Xét hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(b) – F(a) chính là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), hay còn gọi là tích phân được xác định trên đoạn [a;b]. Cụ thể: \intop^b_a f(x)dx=F(x)|^b_a=F(b)-F(a) Tính chất của tích phânĐể giải các bài toán tích phân, các em cần nắm được những tính chất cơ bản sau của tích phân: Phương pháp tính tích phânKhi giải các bài tập tích phân, các em có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó, 2 phương pháp cơ bản được áp dụng nhiều nhất là đổi biến số và tích phân từng phần. Phương pháp đổi biến sốCho hàm số f(x) được xác định và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Các em có thể sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân. Công thức đổi biến số cụ thể: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)duSau đây là các dạng tích phân và cách đổi biến số thường gặp mà các anh chị Marathon đã tổng hợp được. Các em hãy tham khảo và áp dụng để giải bài tập: Phương pháp tích phân từng phầnCác em nên áp dụng phương pháp tích phân từng phần để giải nhanh chóng và chính xác những bài tập mà hàm số đã cho thuộc dạng:
Công thức tích phân từng phần : \intop^b_au(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au'(x)v(x)dx Các dạng bài tập tích phân cơ bảnDạng 1: Hàm logaritVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned}
I&=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx\\
&=\frac{1}{2}\intop^1_0(2e^x+1)^3d(2e^x+1)\\
&=\left.\frac{1}{2}.\frac{(2e^x+1)^4}{4}\right|^1_0\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{(2e+1)^4}{4}-\frac{81}{4} \right]\\
&=\frac{(2e+1)^4}{8}-\frac{81}{8}
\end{aligned}Dạng 2: Hàm phân thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dxBài giải: Ta có: \begin{aligned}
I&=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dx\\
&=\intop^4_3\left(1+\frac{3}{x-2}\right)dx\\
&=[x+3ln(x-2)|^4_3\\
&=(4+3ln2)-(3+ln1)\\
&=1+3ln2
\end{aligned}Dạng 3: Hàm căn thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dxBài giải: Ta có: \begin{aligned}
I&=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dx\\
&=\frac{1}{2}\intop^4_0\sqrt{2x+1}d(2x+1)\\
&=\left.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}\right|^4_0\\
&=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}
\end{aligned}Dạng 4: Hàm đa thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0(3x^2+2x-1)dx Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du0Dạng 5: Hàm lượng giácVí dụ: Tính tích phân của hàm số: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du1Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du2
Qua bài viết này, Team Marathon Education đã giúp các em hiểu thêm định nghĩa tích phân. Bên cạnh đó, các em biết được những phương pháp tính tích phân cũng như những dạng bài tập cơ bản. Hy vọng, những kiến thức này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học và ôn tập cho các kỳ thi quan trọng. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới! Tích phân có 2 định nghĩa tương đương nhau. Đó là định nghĩa theo công thức Newton-Leibniz và định nghĩa theo giới hạn. Phần định nghĩa theo giới hạn chúng ta sẽ không đề cập ở đây. Các em có thể đọc thêm trong sách giáo khoa. Định nghĩa tích phân theo công thức Newton-Leibniz “có vẻ” hình thức nhưng dễ vận dụng vào bài tập hơn. Cụ thể: Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] và F(x) là một nguyên hàm nào đó của hàm số y=f(x) trên [a;b]. Khi đó: TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN CƠ BẢNTrước tiên chúng ta cần nắm được các tính chất tích phân sau: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNCác cách tính tính tích phân cơ bản gồm 3 phương pháp: Phương pháp tính trực tiếp: Đây là cách tính tích phân mà ta sử dụng bảng nguyên hàm để thay trực tiếp vào công thức Newton-Leibniz. Ví dụ minh họa (Tự luận): Tính tích phân sau: Lời giải: Vì nguyên hàm của sinx là −cosx nên: Phương pháp giải toán tích phân bằng đổi biến: Một trong các phương pháp giải tích phân là sử dụng công thức đổi biến số: Công thức tính tích phân bằng đổi biến Ví dụ minh họa (Tự luận): Tính tích phân sau: Lời giải: Ta nhận thấy mẫu số đạo hàm được tử số. Đây là dấu hiệu của phương pháp đổi biến. Áp dụng công thức đổi biến ta có: Các dạng tích phân đổi biến: Dưới đây là tổng hợp các dạng tích phân và cách giải (cách đổi biến) thường gặp: Cách giải toán tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Các dạng bài tập tích phân cần sử dụng tích phân từng phần khi hàm số dưới dấu tích phân thuộc một trong các loại: Đa thức-lượng giác; Đa thức-mũ; Logarit-đa thức; Mũ-lượng giác. Và tích phân đó không sử dụng được hoặc khó sử dụng phương pháp đổi biến. |
