Ta có phép cộng như sau: 5 + 5 + 5 = 15
Ta có phép nhân như sau: 5x3 = 15 = 5 + 5 + 5
-> Phép nhân chẳng qua là cộng nhiều lần lại với nhau.
Ta có phép trừ như sau: 15 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0 (15 trừ đi 3, 5 lần để = 0)
Ta có phép chia như sau: 15:3 = 5
-> Nghĩa là ta trừ 3 đi 5 lần. Phép chia a:b là số lần mà a trừ đi b để bằng 0.
Vậy điều gì khi chia cho 0?
Ta có phép chia cho 0 như sau: 15:0 = 15 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - …
Rõ ràng ta thấy, 15 – 0 mãi mãi sẽ vẫn bằng 15, điều này không có nghĩa, tức là không xác định được.
Giới hạn toán học
Chúng ta ai học toán cũng quen thuộc với công thức lim và khái niệm giới hạn toán học.
lim(n+1) = 2 khi n tiến về 1.
Vậy thực chất giới hạn là gì? Tại sao ta cần có nó?
Ta có các mệnh đề như sau:
1 = 1/3 + 1/3 + 1/3 1/3 = 0.33333333… 1/3 x 3 = 1 0.33333333… x 3 = 0.9999999…Ta thấy rằng, 0.999999… gần bằng 1. Và chúng ta biết rằng 0.999… đến 1 lúc nào đó sẽ bằng 1. Ta biết chắc như vậy, nên ta gán nó bằng 1. Và đó là giới hạn toán học.
Thật vậy, ta có thể chứng minh như sau:
x = 0.99999… 10x = 9.9999… 10x = 9 + 0.9999… 10x = 9 + x 9x = 9 x = 1Giới hạn toán học giúp ta xác định một giá trị mà ta biết chắc rằng một hàm số có thể đạt tới.
Nói về việc dùng công thức nhưng không rõ bản chất thì còn rất nhiều, đặc biệt là tích phân và đạo hàm. Mình sẽ có một bài cụ thể về tích phân và đạo hàm sau.
Bài toán hóc búa: 0 mũ 0 bằng mấy?
Ta có các công thức mũ như sau:
a^0 = 1 0^a = 0Vậy 0^0 bằng mấy?
Bài toán này ta cần dùng đến khái niệm ở bài toán trên, đó là giới hạn.
Ta có bảng kết quả như sau:
Ta thấy rằng, ban đầu, hàm x^x sẽ tiến về 0 khi x nhỏ dần, nhưng khi x càng nhỏ càng gần về 0 thì x^x gần bằng 1. Vậy thì 0^0 bằng 1 chứ? Đây là một trong rất nhiều cách chứng minh, các bạn có thể tìm hiểu thêm và tìm ra kết quả của mình.
Không rõ các hằng số này từ đâu: số pi và số e
Số pi có từ đâu?
Ta xét một đường tròn tâm O đường kính d có chu vi là C.
Thì pi = C/d ≈ 3.14…
Làm thế nào để tính số Pi? Có rất nhiều cách để tính số pi, minh sẽ có một bài cụ thể về một số phương pháp tính số pi sau nhé.
Số e có từ đâu?
Ta có một bài toán cụ thể về lãi suất ngân hàng như sau:
Toàn có 1$, anh gửi ngân hàng BIDV với lãi suất là 100% một năm và ngân hàng tính tiền lãi sau 1 năm. Sau 1 năm, tài khoản của toàn sẽ có 2$.
Thư cũng có 1$, nhưng Thư gửi ngân hàng Aribank với lãi suất là 50% mỗi 6 tháng và ngân hàng tính tiền lãi sau mỗi 6 tháng. Sau 6 tháng đầu, tài khoản của Thư sẽ có 1$ + 0.5$ = 1.5$. Sau 6 tháng tiếp theo, tài khoản của Thư sẽ có 1.5$ + 0.75$ = 2.25$.
Mai cũng có 1$, nhưng Mai gửi ngân hàng MB với lãi suất là 25% mỗi 3 tháng. Sau 1 năm, tiền trong tài khoản của Mai là 2.441$.
Gọi n là số lần mà ngân hàng tính lãi suất trên 1 năm và 1/n là lãi suất, thì ta có công thức tính số tiền sau 1 năm như sau:
(1 + 1/n)^n
Giới hạn của công thức trên khi n tiến về dương vô cùng là 2.7182… cũng chính là số e.
Các bạn thấy đấy, toán học cũng rất là thứ vị chứ, toán sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta hiểu rõ bản chất. Không chỉ riêng về toán, tất cả các vấn đề trong cuộc sống, khi chúng ta học tập, chúng ta nên tìm hiểu rõ bãn chất của vấn đề. Nó là gì? Tại sao lại có nó? Tại sao nó lại như vậy? Nó dùng để làm gì?
Đọc thêm:
Trong toán học, số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,999... hay còn được viết
hoặc
Chứng minh
Có nhiều cách để chứng minh điều này: vận dụng các kiến thức số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của các số thực, dãy Cauchy... Dưới đây là các cách đơn giản nhất.
Số học
Phân số và phép chia
Ta có:
Một phiên bản rút gọn khác là
Cả hai phép chứng minh đều cho thấy giá trị của 0,999... phải bằng 1. Đơn giản hơn, ta có 3/3 = 1
Biến đổi số học
Đặt:
Vấn đề liên quan
- Nghịch lý Zeno
Con rùa bò trước chàng lực sĩ Asin. Dù Asin chạy rất nhanh nhưng anh sẽ không bao giờ đuổi kịp rùa vì mỗi lần chàng đến nơi rùa đã đến thì nó đã kịp bò một đoạn. Do đó dù khoảng cách giữa chàng và rùa ngày càng rút ngắn nhưng Asin vẫn không theo kịp rùa. Điều này có thể giải quyết đơn giản bằng cách tìm giới hạn của tổng vô hạn các số dãy số có cấp số lớn hơn 0 và bé hơn 1. Ví dụ:
Tổng vô hạn các số hạng trong dãy số:
- Chia cho không
Nếu công nhận số có thể chia cho 0 và thì sẽ xảy ra nhiều nghịch lý. Ví dụ:
- Số âm không
một con số tồn tại trong máy tính, phát sinh do một số phương pháp biểu diễn số nguyên âm và hầu hết các phương pháp biểu diễn số chấm động (floating point). Toán học không có định nghĩa tương đương về số âm không, do đó, −0 và 0 là hoàn toàn như nhau. Trong các khoa học khác, −0 có thể được sử dụng để biểu thị một số lượng nhỏ hơn không, nhưng không đáng kể, nên không thể làm tròn thành một con số có nghĩa.
Xem thêm
- Vô hạn
- Giải tích thực
- Chuỗi (toán học)
Chú thích
- ^ Alligood, Kathleen T. (1997). Chaos : an introduction to dynamical systems. Tim Sauer, James A. Yorke. New York: Springer. ISBN 0-387-94677-2. OCLC 33946927.
- ^ Apostol, Tom M. (1974). Mathematical analysis (ấn bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4. OCLC 827630.
- ^ Bartle, Robert G. (1982). Introduction to real analysis. Donald R. Sherbert. New York: Wiley. ISBN 0-471-05944-7. OCLC 7875643.
- ^ Beals, Richard (2004). Analysis : an introduction. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-64842-7. OCLC 667041380.
Tham khảo
- Beals, Richard (2004). Analysis : an introduction. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-64842-7. OCLC 667041380.
- Berlekamp, Elwyn R. (1982). Winning ways, for your mathematical plays. John H. Conway, Richard K. Guy. London: Academic Press. ISBN 0-12-091150-7. OCLC 8559966.
- Berz, Martin (1992). Computer Arithmetic and Enclosure Methods. Elsevier. tr. 439–450. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 10 năm 2007. Truy cập ngày 11 tháng 5 năm 2009.
- Bunch, Bryan H. (1982). Mathematical fallacies and paradoxes. New York: Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0-442-24905-5. OCLC 7836945.
- Burrell, Brian (1998). Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster. ISBN 0-87779-621-1.
- Conway, John B. (1978). Functions of one complex variable (ấn bản 2). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3. OCLC 3933230.
- Davies, Charles (1846). The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications. A.S. Barnes.
- DeSua, Frank C. (1960). “Hệ thống đẳng cấu đến thực tế”. The American Mathematical Monthly. 67 (9): 900–903. doi:10.2307/2309468.
- Dubinsky, Ed; Weller, Kirk; McDonald, Michael A.; Brown, Anne (tháng 10 năm 2005). “Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity: An Apos Analysis: Part 2”. Educational Studies in Mathematics (bằng tiếng Anh). 60 (2): 253–266. doi:10.1007/s10649-005-0473-0. ISSN 0013-1954.
- Edwards, Barbara and Michael Ward (2004). “Ngạc nhiên từ nghiên cứu Toán học” (PDF). The American Mathematical Monthly. 111 (5): 411–425. doi:10.2307/4145268.
Liên kết ngoài
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về 0,999....
- 0,999999… = 1? từ cut-the-knot
- Tại sao 0.9999… = 1 ?
- Hỏi một nhà khoa học: Số thập phân tuần hoàn Lưu trữ 2015-02-26 tại Wayback Machine
- Phép chứng minh số học
- Chín vô hạn
- Chín vô hạn bằng một
- Nghiên cứu của David Tall về sự nhận thức toán học
- Có gì sai khi nghĩ rằng số thực là thập phân vô hạn?
- Định lý 0,999... trên Metamath
- Hackenstrings, và 0.999... ?= 1 FAQ Lưu trữ 2006-12-11 tại Wayback Machine
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về 0,999....