ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý : – Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực – Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì : x1 + x2 + x3 = -b/2a x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a x1x2x3 = -d/a
- Những dạng thông thường
1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng :
(x – x0)(ax2 + bx + c) = 0
Đặc biệt : – Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm – Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm
2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3 pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II. Những dạng tổng quát
1. Phương trình 4x3 – 3x = q
* Với │q│ ≤ 1 – Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q – Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα – Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3 – Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3 Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt “ép” ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay
* Với │q│ > 1 : – Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất – Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 – 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách : q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 – 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a) – CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình
2. Phương trình 4x3 + 3x = q – Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất – Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 – 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a – 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)
3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan – Tartaglia) – Đặt x = u – v sao cho uv = p/3 – Từ pt, ta có : (u – v)3 + 3uv(u – v) = u3 – v3 = q – Hệ phương trình uv = p/3 và u3 – v3 = q cho ta một phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là dạng đầy đủ của công thức trên) Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này
4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0 Đặt X = x – A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#)
Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan – Tartaglia
Cách 2 : – Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0 (chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0) – Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q
Hàm số và đồ thị là một kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán trung học cơ sở. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về ứng dụng của đồ thị hàm số bậc 3 trong việc giải các bài tập toán. Đây là một trong những dạng thường xuất hiện ở các đề thi cuối cấp cũng như tuyển sinh lên lớp 10. Cùng tham khảo nhé:
I. Đồ thị hàm số bậc 3 - Lý thuyết cơ bản
1. Các bước khảo sát hàm số bất kì.
Xét hàm y=f(x), để khảo sát hàm số, ta thực hiện theo các bước như sau:
- Tìm tập xác định.
- Xét sự biến thiên:
- Tìm đạo hàm y’
- Tìm ra các điểm làm y’=0 hoặc y’ không xác định.
- Xét dấu y’, từ đó kết luận chiều biến thiên.
- Xác định cực trị, tìm giới hạn, vẽ bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
2. Khảo sát hàm số bậc 3.
Cho hàm số bậc 3 dạng:
- Tập xác định: D=R
- Sự biến thiên
- Tính đạo hàm:
- Giải phương trình y’=0.
- Xét dấu y’, từ đó suy ra chiều biến thiên.
- Tính đạo hàm:
- Tìm giới hạn. Chú ý: hàm bậc ba nói riêng và các hàm đa thức nói chung không có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Sau đó vẽ bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị: ta tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị, thường là giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành.
- Khi nhận xét, chú ý rằng đồ thị hàm bậc 3 nhận 1 điểm làm tâm đối xứng (là nghiệm của phương trình y’’=0), gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số bậc 3.
Đăng Ký Học Ngay: Toán Thầy Thế 12 – Chuyên đề kiến thức lớp 12
3. Dạng đồ thị hàm số bậc 3:
Cho hàm số bậc 3 dạng:
Đạo hàm
Ta xảy ra các trường hợp bên dưới:
- Phương trình y’=0 tồn tại hai nghiệm phân biệt:
- Phương trình y’=0 có nghiệm kép.
- Phương trình y’=0 vô nghiệm.
Ví dụ 1: Khảo sát đồ thị của hàm số bậc 3 sau: y=x3+3x2-4.
Hướng dẫn:
Bài này là một bài kinh điển, để khảo sát, lần lượt thực hiện theo các bước:
Tập xác định: D=R
Sự biến thiên:
Tìm giới hạn:
Vẽ bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại yCD=0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yCT=-4
Vẽ đồ thị:
Xác định điểm đặc biệt:
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y=0, hay
Vậy giao điểm với trục hoành là (-2;0) và (1;0)
- Giao điểm với trục tung: ta thế x=0 vào hàm số y, được y=-4.
Vậy giao điểm với trục tung là (0;-4).
- Điểm uốn: Vậy điểm uốn của đồ thị là (-1;-2) Ta thu được đồ thị sau:
Nhận xét: cách trình bày trên phù hợp với các bài toán tự luận, ngoài ra đồ thị hàm số bậc 3 còn được sử dụng rộng rãi trong các bài toán trắc nghiệm mà ở đó, đòi hỏi những kỹ năng nhận dạng một cách nhanh chóng, chính xác để tìm ra đáp án bài toán.
Ví dụ 2: Hãy tìm hàm số có đồ thị là hình dưới đây:
- y=x3-3x+1
- y=-x3+3x2+1
- y=-x3+x2+3
- y=x3-3x2+3x+1
Hướng dẫn:
Dựa vào dạng đồ thị, ta có a>0. Hiển nhiên B, C bị loại.
Hàm số này không có cực trị, nên loại đáp án A.
Vậy đáp án D đúng.
Nhận xét: bài toán này, các bạn có thể lý luận theo một cách khác, để ý hàm số đi qua điểm (0;1), vậy loại đáp án C. Mặt khác, đồ thị đi qua (1;2) nên loại A, B. Vậy suy ra đáp án D đúng.
Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 3:
Tìm đáp án chính xác:
- a<0, b>0, c>0, d>0.
- a<0, b<0, c=0, d>0.
- a>0, b<0, c>0, d<0.
- a<0, b>0, c=0, d>0.
Hướng dẫn:
Từ hình vẽ đồ thị, dễ dàng nhận thấy a<0.
Mặt khác khi thay x=0, ta có y=d. Điểm (0;d) là giao của đồ thị với trục tung, suy ra d>0.
Lại có:
- Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, nên y’(0)=0, suy ra c=0. Loại đáp án A.
lúc này y’=0, suy ra x=0 hoặc x=-2b/3a. Lại dựa vào đồ thị, nhận thấy hoành độ điểm cực đại dương nên -2b/3a>0, kết hợp với a<0 suy ra b>0.
phương trình bậc 3 có vô nghiệm khi nào?
Điều kiện thứ hai là delta lớn hơn 0 (Δ > 0). Delta (Δ) là biểu thức trong dấu căn bậc hai trong công thức tính nghiệm của phương trình bậc 3. Nếu delta không lớn hơn 0, tức là delta bằng 0 hoặc delta nhỏ hơn 0, phương trình sẽ không có nghiệm phân biệt.
Delta có nghiệm khi nào?
Biệt thức delta được tính bằng công thức: delta = b^2 - 4ac. Trong đó, a, b, và c lần lượt là hệ số của phương trình bậc 2. 1. Nếu delta ≥ 0, tức là biệt thức delta không nhỏ hơn 0, phương trình sẽ có nghiệm.
phương trình bậc 3 có nghiệm duy nhất khi nào?
Phương trình bậc 3 có nghiệm duy nhất khi độ thay đổi của đa thức theo biến x thỏa mãn điều kiện dT/dx > 0, tức là đạo hàm của đa thức T = ax^3 + bx^2 + cx + d > 0. Để tìm điều kiện này, ta lấy đạo hàm của đa thức T và giải phương trình dT/dx > 0 theo biến x.
phương trình bậc 3 có 2 nghiệm trai đầu khi nào?
Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu là khi delta (Δ) lớn hơn 0 và hệ số a khác 0. Để kiểm tra điều kiện này, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình bậc hai dưới dạng chung: ax^2 + bx + c = 0.