Chương 7
####### PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
7. Phương trình vi phân cấp 1
7.1. Các khái niệm
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát:
/ / F(x,y,y ) 0 hay y f(x,y) (7)
Hàm số y (x) xác định và khả vi trên khoảng I được gọi là nghiệm của
phương trình (*) trên I, nếu
/
(x, (x)) G, x I
(x) f (x, (x)), x I
với G là tập xác định của hàm f(x,y)
Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y (x) là nghiệm của phương trình (*) thỏa mãn
điều kiện đầu y 0 (x ). 0
7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng tách biến
Có 3 dạng sau:
/ y f(x)g(y) (7)
f(x)dx g(y)dy 0 (7)
f (x)g (y)dx f (x)g (y)dy 0 1 1 2 2 (7)
Phương pháp giải
Phân ly biến số x và dx về một vế; y và dy về một vế rồi lấy tích phân hai vế
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân sau
/ x y e
-
4 x sin x dx 5y dy 0
/ 2 y xy 2xy
Giải
/ x x y e dy e dx (1)
Lấy tích phân 2 vế của phương trình (1)
x y e C (C là hằng số)
-
4 x sin x dx 5y dy 0 (2)
Lấy tích phân 2 vế của phương trình (2)
4 x sinx dx 5y dy C
125 x cosx y C 2
(với C là hằng số)
/ 2 y xy 2xy (3)
Phương trình (3) được viết lại như sau
dy 2 xy 2xy xy(y 2) dy xy(y 2)dx dx
(4)
Trường hợp 1: Nếu y 0, 2 là nghiệm của phương trình
Trường hợp 2: Nếu y 0, 2 , chia hai vế của phương trình (4) cho y(y 2) , ta
được
dy xdx y(y 2)
,
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có
dy 1 1 1 xdx C dy xdx C y(y 2) 2 y y 2
112 ln y ln y 2 x C 2 2
y 2 ln x C y 2
(với C là hằng số)
7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng đẳng cấp
Phương trình đẳng cấp có dạng:
/ y y f x
(7)
Phương pháp giải
Đặt
y / / u y ux y u x u x
Thay vào (7), ta được: / F x,u,u 0 (7)
Giải (7) được u rồi suy ra y
Đặt
v / / t v tu v t u t u
thế vào (3), ta được
2 / 3 t / 2 t t t u t t u 1 t 1 t
2
1 t 1 dt du 2 t t u
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có
2
1 t 1 dt du C 2 t t u
1 2 1 dt ln u C 3 t 1 t 2
#######
1 2ln t 1 ln t 2 ln u C 3
Vậy
y 2 y 2 2ln 1 ln 2 3ln x 1 C x 1 x 1
7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng tuyến tính
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
/ y a(x)y b(x) (7)
Trong đó a(x), b(x) là các hàm số liên tục.
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm một nguyên hàm của a(x)
u(x) a(x)dx
Bước 2: Chọn thừa số tích phân
u(x) v(x) e
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho thừa số tích phân: v(x) (v(x) 0, x)
thì ta có
/ v(x)y a(x)v(x)y v(x)b(x)
/ v(x)y v(x)b(x) (*)
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*), ta được
1 v(x)y v(x)b(x)dx y v(x)b(x)dx v(x)
Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân sau
/ 1
- y y 1 x
với x 0, y(1) 1 .
/ x 2 2) y 2xy xe.
Giải
/ 1
- y y 1 x
với x 0, y(1) 1
Bước 1:
1
x
có nguyên hàm là ln x ln x (vì x 0 )
Bước 2: Chọn thừa số tích phân:
ln x e x
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho x, thì ta có
/ / xy y x xy x (*)
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*)
1 1 2 x C xy xdx C y x C x 2 2 x
Với điều kiện đầu
1 C 1 y(1) 1 1 C 2 1 2
Vậy nghiệm của phương trình:
.
x 1 y 2 2x
2 / x 2) y 2xy xe
Bước 1: 2x có nguyên hàm là
2 x
Bước 2: Chọn thừa số tích phân:
2 x e
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho
2 x e , thì ta có
2 2 2 / x / x x e y 2xe y x e y x (*)
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*)
2 2 x x 12 e y xdx C y e x C 2
2 2 2 2 2
2 2
x 3 x x 2 x x
1 2 x 2 x
e u 4x e dx u 2e x e e C
1 y 2x 2 Ce y
2x 2 Ce
b)
/ 2x 3 y y e y
Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho
3 y ta được
/ 3 2 2x y y y e
(2)
Bước 2: Đặt
2 / 3 / u y u 2y y
Phương trình (2) trên tương đương
/ 2x u 2u 2e (3)
Giải (3)
Bước 1: 2 có nguyên hàm là 2x
Bước 2: Chọn thừa số tích phân:
2x e
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho
2x e , thì ta có
/ 2x / 2x 4x 2x 4x e u e 2u 2e e u 2e (*)
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*)
2x 4x 2x 2x
2 2x 2x 2 2x 2x
1 e u 2e dx u e Ce 2
1 2 y e Ce y 2 e 2Ce
7. Phương trình vi phân cấp 2
7.2. Các khái niệm chung
Phương trình vi phân cấp hai có dạng
/ //
F x,y,y ,y 0 hay // / y f x,y,y (7)
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 chứa hai tham số C , C1 2
Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y (x) thỏa điều kiện đầu
// /
/ 0 0 0 1
(x) f x, (x), (x)
x y , (x ) y
7.2. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp được
Có dạng:
// F(x, y ) 0 (7)
/ // F(x, y , y ) 0 (7)
/ // F(y, y , y ) 0 (7)
Phương pháp giải
Đặt
/ / // u y u y thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình vi phân cấp 1.
Giải phương trình vi phân cấp 1, ta được u rồi suy ra y.
Ví dụ 5. Giải phương trình vi phân sau:
a)
// y x cosx
b)
// 2 / 2 y y x x
Giải
a)
// y x cos x (1)
Đặt
/ / // u y u y thế vào phương trình (1)
/ u xcosx du xcosxdx
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có
1 du xcosxdx C
u xsin x cosx C 1
Thay
/ u y , ta có
/ y xsin x cosx C 1
dy xsin x cosx C dx 1
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có
dy xsin x cosx C dx C 1 2
1 2 y xcosx 2sin x C x C (với 1 2 C , C là hai hằng số)
b)
// 2 / 2 y y x x
(2)
Đặt
/ / // u y u y thế vào phương trình (2)
/ 22 u u x x
(Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1)
a)
// / y 4y 3y 0
Phương trình đặc trưng tương ứng
2 k 1 k 4k 3 0 k 3
Nghiệm tổng quát của phương trình
x 3x 0 y (x) Ae Be (Với A, B là hai hằng số)
b)
// / y 4y 4y 0
Phương trình đặc trưng tương ứng
2 k 4k 4 0 k 2
Nghiệm tổng quát của phương trình
2x y (x) A Bx e 0
(Với A, B là hai hằng số)
c)
// / y 2y 5y 0
Phương trình đặc trưng tương ứng
2 k 2k 5 0 k 1,2 1 2i
Nghiệm tổng quát của phương trình
x y (x) e Asin 2x Bcos2x 0
(Với A, B là hai hằng số)
7.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất
Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất có dạng
// / ay by cy f (x) (7)
Trong đó a, b, c là hằng số.
Nghiệm tổng quát của phương trình (7) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (7)
cộng cho nghiệm riêng của phương trình (7).
- Tìm nghiệm riêng của (6) bằng phương pháp thừa số bất định
Trương hợp 1:
x f(x) e P (x)n
( với P (x)n là đa thức bậc n của x)
- Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (7)
Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng
x y (x) e Q (x)r n
(Với Q (x)n là đa thức tổng quát của P (x)n )
ii) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (7)
Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng
x r n y (x) xe Q (x)
(Với Q (x)n là đa thức tổng quát của P (x)n )
iii) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (7)
Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng
2 x r n y (x) x e Q (x)
(Với Q (x)n là đa thức tổng quát của P (x)n )
Trương hợp 2:
x f (x) e P (x)sin x Q (x)cos xn n
(với P (x), Q (x)n n là hai đa thức
bậc n của x)
- Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng (6)
Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng
x y (x) e A (x)sin x B (x)cos xr n n
(Với A (x), B (x)n n là hai đa thức
tổng quát của P (x), Q (x)n n )
ii) Nếu i là nghiệm của phương trình đặc trưng (7)
Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng
x y (x) xe A (x)sin x B (x)cos xr n n
(Với A (x), B (x)n n là hai đa
thức tổng quát của P (x), Q (x)n n ).
- Tìm nghiệm riêng của phương trình (7) bằng phương pháp biến thiên hằng số
Từ nghiệm tổng quát của (7) ta thay A A(x), B B(x) . Tìm nghiệm riêng của
(7) dưới dạng
y (x) A(x)y (x) B(x)y (x)r 1 2
thỏa điều kiện
/ / 1 2 / / / / 1 2
A (x)y (x) B (x)y (x) 0
A (x)y (x) B (x)y (x) f (x)
Nghiệm tổng quát của (7)
y(x) y (x) y (x) 0 r
- Nguyên lý chồng chất nghiệm
Nếu y 1 là nghiệm riêng của phương trình vi phân
// / 1 ay by cy f (x)
Nếu y 2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân
// / ay by cy f (x) 2
2 r
1 8 26 y (x) x x 3 9 27
Vậy nghiệm tổng quát của (1)
x 3x 2 0 r
1 8 26 y(x) y (x) y (x) Ae Be x x 3 9 27
(Với A, B là hai hằng số)
b)
// / y 2y 2x 3 (1)
Phương trình thuần nhất
// / y 2y 0 (2)
Phương trình đặc trưng tương ứng
2 k 0 k 2k 0 k 2
Nghiệm tổng quát của phương trình (2)
2x y (x) A Be 0 (Với A, B là hai hằng số)
Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng 0, n 1
2 y (x) ax bxr
Ta có
/ // r r y (x) 2ax b; y (x) 2a
Thế
/ // y (x), y (x), y (x)r r r vào (1), ta được 4ax 2a 2b 2x 3
Đồng nhất, ta có
1 4a 2 a 2 2a 2b 3 b 2
Nghiệm riêng của (1)
2 r
1 y (x) x 2x 2
Vậy nghiệm tổng quát của (1)
2x 2 0 r
1 y(x) y (x) y (x) A Be x 2x 2
(Với A, B là hai hằng số)
c)
// / x y 2y 5y e sin 2x (1)
Phương trình thuần nhất
// / y 2y 5y 0 (2)
Phương trình đặc trưng tương ứng
2 k 2k 5 0 k 1,2 1 2i
Nghiệm tổng quát của phương trình (2)
x y (x) e Asin 2x Bcos2x 0
(Với A, B là hai hằng số)
Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng 0, n 1
x y (x) e C sin 2x C cos2xr 1 2
Ta có
/ x y (x) e C 2C sin2x 2C C cos2xr 1 2 1 2
// x y (x) e 3C 4C sin2x 4C 3C cos2xr 1 2 1 2
Thế
/ // y (x), y (x), y (x)r r r vào (1), ta được
x x e 4C 8C sin 2x 8C 4C cos2x e sin 2x 1 2 1 2
Đồng nhất, ta có
1 1 2
1 2 2
1 C 4C 8C 1 20
8C 4C 0 1 C 10
Nghiệm riêng của (1)
x r
1 1 y (x) e sin2x cos2x 20 10
Vậy nghiệm tổng quát của (1)
x x 0 r
1 1 y(x) y (x) y (x) e Asin 2x Bcos2x e sin2x cos2x 20 10
(Với A, B là hai hằng số)
Ví dụ 8. Giải phương trình vi phân sau:
// / y 3y 2y sin x (1)
Giải
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất:
// / y 3y 2y 0
Phương trình đặc trưng
x x r 1 2
1 y (x) y (x) y (x) (x 1)e e 2
Nghiệm tổng quát của (1)
x x 0 r
1 y(x) y (x) y (x) Asin x Bcosx (x 1)e e 2
, (A, B là hằng số)
7. Một số ứng dụng trong kinh tế
7.3. Tìm hàm y f(x) khi biết hệ số co dãn
Giả sử x và y là hai đại lượng kinh tế có quan hệ với nhau bằng một hàm khả vi
y f(x) thì ta có hệ số co dãn Ey x là một hàm của x được xác định bởi
y x
dy x E dx y
(7)
Vậy nếu ta biết hệ số co dãn y x E là một hàm theo x ta có phương trình vi phân như sau :
y x
x dy E y dx
(7)
hay
y x
dy dx E y x
(7)
Giải phương trình vi phân này, ta có
Ey x
x
ln y dx
#######
(7)
7.3. Mô hình cân bằng thị trường với kỳ vọng về giá
Xét hàm cung và hàm cầu tổng quát như sau
/ // Q (t) D P(t), P (t), P (t)D
(7)
/ // Q (t) S P(t), P (t), P (t)S
(7)
Trong đó
+) P(t) : Xu thế giá tại thời điểm t
+)
/ P (t) : Giá tăng
/ P (t) 0 hoặc
/ P (t) 0 giá giảm tại thời điểm t.
+)
// P (t): Giá tăng ngày một nhanh
// P (t) 0 hoặc tốc độ tăng giá giảm dần
// P (t) 0.
Mô hình cân bằng tại mọi thời điểm
/ // / // Q (t) Q (t) D P(t), P (t), P (t) S P(t), P (t), P (t)D S
(7)
Đây là phương trình vi phân cấp 2 của P.
Ví dụ 10. Cho hệ số co dãn của hàm cầu là
D
2P E 2000 2P
Tìm hàm cầu QD biết rằng Q(0) 2000.
Giải
Từ hệ số co dãn ta có
dQ P 2P dQ dP
dP Q 2000 2P Q 1000 P
Suy ra
ln Q ln 1000 P C Q A(1000 P)
mà Q(0) 2000 2000 1000A A 2
Vậy
Q 2000 2P .
Ví dụ 11. Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng
/ // S D Q (t) 6 8P(t); Q (t) 42 4P(t) 4P (t) P (t)
Với giá ban đầu P(0) 6 và
/ P (0) 4. Tìm sự biến động của giá P(t) theo thời gian và
giả thiết cung cầu thỏa mãn tại mọi thời điểm.
Giải
Cho lượng cung bằng lượng cầu ta được
/ // Q (t) Q (t)S D 6 8P(t) 42 4P(t) 4P (t) P (t) (1)
Ta được phương trình vi phân
// / P (t) 4P (t) 12P(t) 48
Phương trình đặc trưng
2 k 4k 12 0 k 2 k 6 1 2
Nghiệm riêng của (1) : P (t) 4r
Nghiệm tổng quát của (1) :
2t 6t P(t) 4 Ae Be
(A, B là hai hằng số)
7. Bài tập
Bài số 1. Chứng minh rằng hàm số
15 y ax bx 12x
là nghiệm của phương trình
2 // / 1 x y 5xy 5y x
Hướng dẫn: Tính đạo hàm rồi thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh.
Bài số 2. Chứng minh rằng hàm số
1 3 2x y a bx x e 6
là nghiệm của phương trình
// / 2x y 4y 4y xe
Hướng dẫn: Tính đạo hàm rồi thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh.
Bài số 3. Giải các phương trình vi phân cấp 1
/ y 2y 4x
2 / x y 2xy xe
/ y y cosx
- (1 x)ydx (1 y)xdy 0
/ x y 2 y x y 4
/ y ysin x sin xcosx
/ 2 y 1 x y arcsin x , y(0) 0
/ y y xln x xln x
,
12 y(e) e 2
2 / 2523 y 9x y (x x )y , y(0) 0
/ 1 y ytan x , y(0) 0 cosx
/ y sin x 3 y y. 2x 2x
Đáp số :
2 2 2x 1 2 x x 1
- y(x) 2x 1 Ce ; 2) y(x) x e Ce ; 3) y(x) (sin x cos x) C; 2 2
y 1 2 2 4) ln xy x y C x 0 y 0; 5) arctan ln (y 1) (x 3) C; x 3
cosx 12 6) y(x) cosx 1 Ce ; 7) y(x) arcsin x 1;8) y(x) x ln x; 2
3
3 1 x 6 3 x 2 9) y(x) e (x 2x ) ; 10) y(x) ;11) y a cosx x hay y 0. 18 cosx
Bài số 4. Giải các phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất sau
// / y y 2y 0
// y 9y 0
// / y 4y 0
// y y 0
// / y 6y 13y 0
// / y 10y 25y 0
// / y y 6y 0
// y 4y 0
// / y 6y 12y 0
// / y 2y 5y 0
// / y 2y y 0
// / 4y 20y 25y 0
Đáp số : 1)
x 2x y(x) Ae Be
; 2)
3x 3x y(x) Ae Be
; 3)
4x y(x) Ae B ;
- y(x) Asin x Bcosx ; 5)
3x y(x) e Asin 2x Bcos2x
;
x 5x y(x) Ae Be ; 7)
2x 3x y(x) Ae Be
; 8) y(x) Asin 2x Bcos2x;
9) 3x y(x) e Asin 3x Bcos 3x
; 10)
x y(x) e Asin 2x Bcos2x
;
(1 2)x (1 2)x y(x) Ae Be
; 12)
5 x 2 y(x) Ax B e .
Bài số 5. Giải các phương trình vi phân với điều kiện đầu sau:
// / / y 4y 3y 0, y(0) 6, y (0) 14
// / / 4y 4y y 0, y(0) 2, y (0) 0
// / / y 4y 29y 0, y(0) 0, y (0) 15
// x / y xe , y(0) 1, y (0) 1
// / 5x / y 4y 3y e , y(0) 3, y (0) 9
// 1 / y 4y sin 2x 1, y(0) , y (0) 0 4
Đáp số :
1 x x 3x 2 2x
- y(x) 2e 4e ; 2) y(x) (x 2)e ; 3) y(x) 3e sin5x;