34. Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng:Nếu tăng 8 luống nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ?
Bài giải: Gọi \(x\) là số luống rau, \(y\) là số cây của mỗi luống. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).
Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta được:
\((x + 8)(y - 3) = xy - 54 \Leftrightarrow - 3x + 8y = - 30\)
Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn tăng 32 cây, nên ta được:
\((x - 4)(y + 2) = xy + 32 \Leftrightarrow 2x-4y=40\)
Ta được hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -3x+8y= -30 & & \\ 2x-4y= 40& & \end{matrix}\right.\)
Giải ra ta được: \(x = 50, y = 15\)
Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: 50 . 15 = 750 (cây)
Bài 35 trang 24 sgk Toán 9 tập 2
35. (Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ?
Bài giải:
Gọi \(x\) (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên.
Gọi \(y\) (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng.
Điều kiện \(x > 0, y > 0\).
Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi nên ta có:
\(9x+8y=107\)
Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi nên ta có:
\(7x+7y=91\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 9x + 8y =107 & & \\ 7x + 7y = 91& & \end{matrix}\right.\)
Giải ra ta được \(x = 3, y = 10\).
Vậy, thanh yên 3 rupi/quả; táo rừng 10 rupi/quả.
Bài 36 trang 24 sgk Toán 9 tập 2
36. Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bi mờ không đọc được (đánh dấu *):
Điểm số của mỗi lần bắn
10
9
8
7
6
Số lần bắn
25
42
*
15
*
Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.
Bài giải:
Gọi số thứ nhất bị mờ là \(x\), số thứ hai bị mờ là \(y\). Điều kiện \(x > 0, y > 0\).
Số lần bắn là 100 nên ta có: \(25+42+x+15+y=100\)
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có:
\(10.25 + 9 . 42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 100.8,69\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 25 + 42 + x + 15 + y = 100 & & \\ 10.25 + 9 . 42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 100.8,69& & \end{matrix}\right.\)
hay \(\left\{\begin{matrix} x + y = 18 & & \\ 8.x + 6.y = 136& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = 14 & & \\ y = 4& & \end{matrix}\right.\)
Mời các em học sinh cùng xem qua đoạn trích “Hướng dẫn giải bài 34,35,36,37,38,39,40 trang 56,57 Đại số 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai” để nắm rõ nội dung của tài liệu hơn. Bên cạnh đó, các em có thể xem lại bài tập "Hướng dẫn giải bài 25,26,27,28,29,30,31,32,33 trang 52,53,54 Đại số 9 tập 2"
Hướng dẫn và giải bài tập trang 56,57 SGK Toán 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài 34 trang 56 SGK Toán 9 tập 2
Giải các phương trình trùng phương:
- x4 – 5x2 + 4 = 0; b) 2x4 – 3x2 – 2 = 0;
- 3x4 + 10x2 + 3 = 0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 34:
- x4 – 5x2+ 4 = 0.
Đặt x2 = t ≥ 0, ta có: t2 – 5t + 4 = 0; t1 = 1, t2 = 4
Nên: x1 = -1, x2 = 1, x3 = -2, x4 = 2.
- 2x4 – 3x2 – 2 = 0.
Đặt x2 = t ≥ 0, ta có: 2t2 – 3t – 2 = 0; t1 = 2, t2 = -1/2 (loại)
Vậy: x1 = √2; x2 = -√2
- 3x4 + 10x2 + 3 = 0.
Đặt x2 = t ≥ 0, ta có: 3t2 + 10t + 3 = 0; t1 = -3(loại),
t2 = -1/3 (loại)
Phương trình vô nghiệm.
Bài 35 trang 56 SGK Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 35:
⇔ x2 – 9 + 6 = 3x – 3x2
⇔ 4x2 – 3x – 3 = 0; ∆ = 57
Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5.
(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)
⇔ 4 – x2 – 3x2 + 21x – 30 = 6x – 30 ⇔ 4x2 – 15x – 4 = 0
∆ = 225 + 64 = 289, √∆ = 17
Điều kiện: x ≠ -1; x ≠ -2
Phương trình tương đương: 4(x + 2) = -x2 – x + 2
⇔ 4x + 8 = 2 – x2 – x
⇔ x2 + 5x + 6 = 0
Giải ra ta được: x1 = -2 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm x = -3.
Bài 36 trang 56 SGK Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
- (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;
- (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 36:
- (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0
\=> 3x2 – 5x + 1 = 0
hoặc x2 – 4 = 0 => x = ±2.
- (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0
⇔ (2x2 + x – 4 + 2x – 1)(2x2 + x – 4 – 2x + 1) = 0
⇔ (2x2 + 3x – 5)(2x2 – x – 3) = 0
\=> 2x2 + 3x – 5 = 0 hoặc 2x2 – x – 3 = 0
X1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5
Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 tập 2
Giải phương trình trùng phương:
- 9x4 – 10x2 + 1 = 0; b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2;
- 0,3×4 + 1,8×2 + 1,5 = 0; đ) 2×2 + 1 = 1/x² – 4
Đáp án và hướng dẫn giải bài 37:
- 9x4 – 10x2 + 1 = 0. Đặt t = x2 ≥ 0, ta có: 9t2 – 10t + 1 = 0.
Vì a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0 nên t1 = 1, t2 = 1/9
Suy ra: x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1/3 , x4 = 1/3
- 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2 ⇔ 5x4 + 3x2 – 26 = 0.
Đặt t = x2 ≥ 0, ta có: 5t2 + 3t -26 = 0
∆ = 9 + 4 . 5 . 26 = 529 = 232; t1 = 2, t2 = -2,6 (loại). Do đó: x1 = √2, x2 = -√2
- 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 ⇔ x4 + 6x2 + 5 = 0. Đặt t = x2 ≥ 0, ta có:
t2 + 6t + 5 = 0, t1 = -1 (loại), t2 = -5 (loại)
Phương trình vô nghiệm,
Chú ý: Cũng có thể nhận xét rằng vế trái x4 + 6x2 + 5 ≥ 5, còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.
Điều kiện x ≠ 0
2x4 + 5x2 – 1 = 0. Đặt t = x2 ≥ 0, ta có:
2t2 + 5t – 1 = 0; ∆ = 25 + 8 = 33
Bài 38 trang 56 SGK Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
- (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x;
- x3 + 2x2 – (x – 3)2 = (x – 1)(x2 – 2);
Đáp án và hướng dẫn giải bài 38:
- (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x ⇔ x2 – 6x + 9 + x2 + 8x + 16 = 23 – 3x
⇔ 2x2 + 5x + 2 = 0
∆ = 25 – 16 = 9
x1 = -2, x2 = -1/2
- x3 + 2x2 – (x – 3)2 = (x – 1)(x2 – 2)
⇔ x3 + 2x2 – x2 + 6x – 9 = x3 – x2 – 2x + 2 ⇔ 2x2 + 8x – 11 = 0
∆’ = 16 + 22 = 38
- (x – 1)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5)
⇔ x3 – 3x2 + 3x – 1 + 0,5x2 = x3 + 1,5x
⇔ 2,5x2 – 1,5x + 1 = 0
⇔ 5x2 – 3x + 2 = 0; ∆ = 9 – 40 = -31 < 0
Phương trình vô nghiệm
⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)
⇔ 2x2 – 14x – 6 = 3x – 2x + 8
⇔ 2x2 – 15x – 14 = 0; ∆ = 225 + 112 = 337
⇔ 14 = x2 – 9 + x + 3
⇔ x2 + x – 20 = 0, ∆ = 1 + 4 . 20 = 81
√∆ = 9
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -5, x2 = 4.
Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4
Phương trình tương đương với:
2x(x – 4) = x2 – x + 8 ⇔ 2x2 – 8x – x2 + x – 8 = 0
⇔ x2 – 7x – 8 = 0
Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên x1 = -1, x2 = 8
Vì x1 = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là x = 8.
Bài 39 trang 57 SGK Toán 9 tập 2
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
- (3x2 – 7x – 10)[2x2 + (1 – √5)x + √5 – 3] = 0;
- x3 + 3x2– 2x – 6 = 0;
- (x2 – 1)(0,6x + 1) = 0,6x2 + x;
- (x2 + 2x – 5)2 = ( x2 – x + 5)2.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 39:
- (3x2 – 7x – 10)[2x2 + (1 – √5)x + √5 – 3] = 0
\=> hoặc (3x2 – 7x – 10) = 0 (1)
hoặc 2x2 + (1 – √5)x + √5 – 3 = 0 (2)
Giải (1): phương trình a – b + c = 3 + 7 – 10 = 0
nên
Giải (2): phương trình có a + b + c = 2 + (1 – √5) + √5 – 3 = 0
nên
- x3 + 3x2– 2x – 6 = 0 ⇔ x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x2 – 2) = 0
\=> hoặc x + 3 = 0
hoặc x2 – 2 = 0
Giải ra x1 = -3, x2 = -√2, x3 = √2
- (x2 – 1)(0,6x + 1) = 0,6x2 + x ⇔ (0,6x + 1)(x2 – x – 1) = 0
\=> hoặc 0,6x + 1 = 0 (1)
hoặc x2 – x – 1 = 0 (2)
(1) ⇔ 0,6x + 1 = 0
(2): ∆ = (-1)2 – 4 . 1 . (-1) = 1 + 4 = 5, √∆ = √5
- (x2 + 2x – 5)2 = ( x2 – x + 5)2 ⇔ (x2 + 2x – 5)2 – ( x2 – x + 5)2 = 0
⇔ (x2 + 2x – 5 + x2 – x + 5)( x2 + 2x – 5 – x2 + x – 5) = 0
⇔ (2x2 + x)(3x – 10) = 0
⇔ x(2x + 1)(3x – 10) = 0
Hoặc x = 0, x = -1/2 , x = 10/3
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
x1 = 0, x2 = -1/2 , x3 = 10/3
Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 tập 2
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
- 3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 1 = 0;
- (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0;
- x – √x = 5√x + 7;
Hướng dẫn: a) Đặt t = x2 + x, ta có phương trình 3t2 – 2t – 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x2 + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 40:
- 3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 1 = 0. Đặt t = x2 + x, ta có:
3t2 – 2t – 1 = 0; t1 = 1, t2 = -1/3
Với t1 = 1, ta có: x2 + x = 1 hay x2 + x – 1 = 0, ∆ = 4 + 1 = 5, √∆ = √5
Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
- (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0
Đặt t = x2 – 4x + 2, ta có phương trình t2 + t – 6 = 0
Giải ra ta được t1 = 2, t2 = -3.
– Với t1 = 2 ta có: x2 – 4x + 2 = 2 hay x2 – 4x = 0. Suy ra x1 = 0, x2 = 4.
– Với t1 = -3, ta có: x2 – 4x + 2 = -3 hay x2 – 4x + 5 = 0.
Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (-4)2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 4.
- x – √x = 5√x + 7 ⇔ x – 6√x – 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0
Ta có: t2 – 6t – 7 = 0. Suy ra: t1 = -1 (loại), t2 = 7
Với t = 7, ta có: √x = 7. Suy ra x = 49.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = -5/4 , x2 = -2/3
Để tham khảo toàn bộ nội dung của “Hướng dẫn giải bài 34,35,36,37,38,39,40 trang 56,57 Đại số 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai”, các em có thể đăng nhập tài khoản trên trang tailieu.vn để tải về máy. Bên cạnh đó, các em có thể xem cách giải bài tập tiếp theo "Hướng dẫn giải bài 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53 trang 58,59,60 Đại số 9 tập 2"