- Chứng minh rằng bốn đỉnh của hình vuông cùng nằm trên một đường tròn. Hãy chỉ ra vị trí của tâm đường tròn đó
- Tính bán kính của đường tròn đó, biết cạnh của hình vuông bằng 2cm.
Lời giải:
- Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Ta có: IA = IB = IC = ID (tính chất của hình vuông)
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn là I.
- Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 22 + 22 = 8
Suy ra: AC = 2√2 (cm)
Bài 12 trang 158 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.
- Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O)?
- Tính số đo góc ACD
- Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O)
Lời giải:
- Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC.
Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O thuộc AD.
Suy ra AD là đường kính của (O).
- Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc CAD = 90o.
- Ta có: AH ⊥ BC ⇒ HB = HC = BC/2 = 24/2 = 12(cm)
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ACH ta có:
AC2 = AH2 + HC2
Suy ra: AH2 = AC2 - HC2 = 202 - 122 = 400 - 144 = 256
AH = 16 (cm)
Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
AC2 = AH.AD ⇒ AD = AC2/AH = 202/16 = 25 (cm)
Vậy bán kính của đường tròn (O) là: R = AD/2 = 25/2 = 12,5 (cm)
Bài 13 trang 158 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tam giác ABC cân tại A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Suy ra AD là đường trung trực của BC.
Khi đó O thuộc AD hay AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc (ACD) = 90o.
Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: CH2 = HA.HD
Bài 14 trang 158 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm bên ngoài đường tròn. Dựng đường kính COD sao cho AC = BD.
Đề bài
Cho hình thoi \( ABCD\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; \( E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) CHứng minh rằng sáu điểm \(E, B, F, G, D, H\) thuộc cùng một đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định thì ta chứng minh điểm đó cách một điểm cố định một khoảng không đổi.
+ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).
* Xét tam giác \(AOB\) có:
\(OE = EB = EA = \dfrac{1}{2}AB\)
Góc \(\widehat A = 60^\circ \) suy ra \(\widehat {OAB} = 30^\circ \):
\(OB = \sin 30^\circ .AB\) hay \(OB = \dfrac{1}{2}AB\)
Vậy \(OE = OB = \dfrac{1}{2}AB\) (1).
Tương tự:
* Xét tam giác \(COB\) có:
\(OF = FB = FC = \dfrac{1}{2}BC\)
Vậy \(OF = OB = \dfrac{1}{2}BC\) (do \(AB = BC\) (2).
* Xét tam giác \(COD\) có:
\(OG = GD = GC = \dfrac{1}{2}DC\)
Ta cũng chứng minh được \(OD = \dfrac{1}{2}DC\)
Vậy \(OF = OD = \dfrac{1}{2}DC\) (3).
* Xét tam giác \(AOD\) có:
\(OH = HD = HA = \dfrac{1}{2}AD\)
Vậy \(OH = OD = \dfrac{1}{2}AD\) (4).
Do \(ABCD\) là hình thoi nên \( AB = BC = DC = AD\) (5)
Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy ra sáu điểm \(E, B, F, G, D, H\) thuộc cùng một đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\).
Đề bài
Cho hình thoi \( ABCD\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; \( E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) Chứng minh rằng sáu điểm \(E, B, F, G, D, H\) thuộc cùng một đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Để chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định thì ta chứng minh điểm đó cách một điểm cố định một khoảng không đổi.
+ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).
* Xét tam giác vuông \(AOB\) có OE là đường trung tuyến nên:
\(OE = \dfrac{1}{2}AB\)
* Xét tam giác vuông \(COB\) có OF là đường trung tuyến nên:
\(OF = \dfrac{1}{2}BC\)
* Xét tam giác vuông \(COD\) có OG là đường trung tuyến nên:
\(OG = \dfrac{1}{2}DC\)
* Xét tam giác vuông \(AOD\) có OH là đường trung tuyến nên:
\(OH = \dfrac{1}{2}AD\)
Do \(ABCD\) là hình thoi nên \( AB = BC = DC = AD\)
Suy ra \(OE=OF=OG=OH=\dfrac{1}{2}AB\) (1)
* Ta có \(\widehat A = 60^\circ \) (gt) suy ra \(\widehat {OAB} = 30^\circ \) (vì AO là phân giác góc A)
Xét tam giác vuông \(AOB\) ta có: \(OB =AB\sin \widehat {OAB}= \sin 30^\circ .AB\) hay \(OB = \dfrac{1}{2}AB\)