Đường trung trực là gì, cách vẽ đường trung trực, tính chất của đường trung trực là gì? Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về đường trung trực.
Đường trung trực là gì?
Khái niệm đường trung trực: Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Tính chất đường trung trực
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d.
Nhận xét:
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó
Điểm O là giao điểm các đường trung trực của ΔABC.
Ta có OA=OB=OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Đường trung trực của tam giác cân
Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
Đường trung trực của tam giác vuông
Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.
Tam giác ABC vuông tại B. Khi đó, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.
Cách vẽ đường trung trực
Cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng AB cho trước:
- Vẽ đoạn thẳng AB
- Xác định trung điểm I của đoạn thẳng AB
- Kẻ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại I
Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Bài toán về đường trung trực
Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?
Giải:
Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có:
EA = EB = EC
Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?
Giải:
Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB
Suy ra, tam giác ADB cân tại D.
Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC
Suy ra, tam giác AEC cân tại E.
Ngoài đường trung trực, mời các bạn tham khảo thêm kiến thức về trực tâm tam giác, trọng tâm tam giác.
Trong nội dung bài viết này, chúng tôi sẽ có những chia sẻ giúp làm rõ: Đường trung trực là gì? Tính chất của đường trung trực? Cách vẽ đường trung trực? Mời Quý độc giả theo dõi nội dung.
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực là đường được hình thành bởi tập hợp các điểm nằm ở giữa hai điểm có sẵn trong không gian hay mặt phẳng.
Trong hình học, đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Nó là đường giữa của đoạn thẳng và chia nó thành hai phần bằng nhau.
Đường trung trực còn được sử dụng trong định hướng và định vị, trong đó nó được sử dụng để xác định vị trí của một đối tượng trong không gian bằng cách tìm ra điểm trung bình giữa các điểm đã biết. Nó cũng được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác và các đa giác đa diện khác.
Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Để tìm đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta cần tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB, sau đó vẽ đường thẳng qua M và vuông góc với đoạn thẳng AB. Đường thẳng này chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ, nếu đoạn thẳng AB có đỉnh A(-2, 3) và đỉnh B(4, 7), để tìm đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta cần thực hiện các bước sau:
– Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB: M có tọa độ ( (-2+4)/2 , (3+7)/2 ) = (1, 5)
– Vẽ đường thẳng qua M và vuông góc với đoạn thẳng AB: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua điểm M(1, 5) và vuông góc với đoạn thẳng AB.
Tính chất của đường trung trực
Thứ nhất: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
+ Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
+ Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
+ Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Thứ hai: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
+ Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác.
+ Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
+ Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
+ Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao tương ứng của đỉnh đối diện với cạnh này.
Cách chứng minh đường trung trực?
Để chứng minh rằng một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng, ta cần chứng minh rằng đường đó đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Để làm được điều đó, ta có thể sử dụng các bước sau:
Bước 1: Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Bước 2: Tìm hệ số góc của đường thẳng AB bằng cách sử dụng công thức sau: m = (yB – yA)/(xB – xA)
Bước 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng vuông góc với đường AB. Hệ số góc này bằng đảo của hệ số góc của đường AB nhân với -1. Tức là: m’ = -1/m
Bước 4: Sử dụng hệ số góc của đường thẳng vuông góc với đường AB đã tính được ở bước 3 và điểm trung điểm M ở bước 1, ta có thể viết phương trình của đường thẳng vuông góc đó dưới dạng y = mx + b’, trong đó b’ là hệ số chặn của đường thẳng vuông góc đó.
Bước 5: Chứng minh rằng đường thẳng đã tìm được đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB. Để làm được điều này, ta chỉ cần thấy rằng điểm trung điểm M có tọa độ ( (xA+xB)/2, (yA+yB)/2) thỏa mãn phương trình của đường thẳng vuông góc đã tìm được ở bước 4.
Bước 6: Chứng minh rằng đường thẳng đã tìm được vuông góc với đoạn thẳng AB bằng cách tính tích vô hướng giữa vector AB và vector định hướng của đường thẳng đã tìm được. Nếu tích vô hướng này bằng 0, thì đường thẳng đã tìm được vuông góc với đoạn thẳng AB.
Với các bước trên, ta có thể chứng minh rằng một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng.
Cách vẽ đường trung trực
Để vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng AB, ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB có đầu mút A và B.
Bước 2: Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB. Để tìm trung điểm, ta có thể sử dụng công thức sau: M = (A + B)/2, trong đó A và B là hai đầu mút của đoạn thẳng AB.
Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua trung điểm M và vuông góc với đoạn thẳng AB. Để vẽ đường thẳng này, ta có thể sử dụng thước vuông hoặc cặp cạnh của thước để vẽ đường vuông góc với đoạn thẳng AB.
Bước 4: Đánh dấu điểm C là giao điểm giữa đường thẳng đã vẽ ở bước 3 và đoạn thẳng AB. Điểm C là điểm nằm giữa hai đầu mút của đoạn thẳng AB và có thể được tính toán bằng công thức sau: C = M + t*(B – A), trong đó t = 1/2 và M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bước 5: Kiểm tra kết quả vẽ bằng cách đo chiều dài của đoạn thẳng AC và chiều dài của đoạn thẳng BC. Nếu cả hai đoạn thẳng bằng nhau, thì đường thẳng đã vẽ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Với các bước trên, ta có thể vẽ được đường trung trực của một đoạn thẳng bất kỳ.
Một số bài toán về đường trung trực
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?
Giải:
Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có:
EA = EB = EC
Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:
Bài tập 2:
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?
Giải:
Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB
Suy ra, tam giác ADB cân tại D.
Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC
Suy ra, tam giác AEC cân tại E.
Bài tập 3:
Bài toán về đường trung trực thường liên quan đến tìm đường trung trực của một đoạn thẳng hoặc sử dụng đường trung trực để giải quyết một bài toán khác.
Ví dụ: Cho hai điểm A(2, 3) và B(8, 7), hãy tìm đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải quyết: Bước 1: Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB. M có tọa độ ( (2+8)/2 , (3+7)/2 ) = (5, 5)
Bước 2: Tính hệ số góc của đường thẳng AB. m = (yB – yA)/(xB – xA) = (7 – 3)/(8 – 2) = 1
Bước 3: Tính hệ số góc của đường thẳng vuông góc với AB. m’ = -1/m = -1
Bước 4: Từ trung điểm M đã tìm được ở bước 1 và hệ số góc đã tính ở bước 3, ta có phương trình của đường trung trực: y – 5 = -1(x – 5) => y = -x + 10
Vậy đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng y = -x + 10.
Bài toán này cho thấy cách tìm đường trung trực của một đoạn thẳng và áp dụng nó để giải quyết một bài toán liên quan đến định hướng trong không gian.
Thế nào là đường trung trực của đoạn thẳng lớp 6?
Đường trung trực của tam giác là đường thẳng vuông góc và đi qua trung điểm của mỗi cạnh của tam giác đó. Mỗi cạnh của tam giác đều có một đường trung trực tương ứng. Đối với một cạnh AB của tam giác ABC, đường trung trực của cạnh AB sẽ đi qua trung điểm của cạnh AB và vuông góc với cạnh AB.
Đường trung trực là gì lớp 7?
Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Thế nào là đường trung trực của một tam giác?
Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác. Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
Đường trung trực của một cạnh là gì?
Đường trung trực của một cạnh trong tam giác là đường thẳng đi qua giữa cạnh đó và vuông góc với nó. Trong tam giác cân, cạnh đáy là cạnh mà không phải là cạnh đối diện với đỉnh.