Mục lục
- 1 Nhà toán học Pytago
- 2 Lý thuyết định lý Pitago
- 2.1 Chứng minh định lý Pitago
- 2.2 Định lý Pitago thuận
- 2.3 Định lý Pitago đảo
- 2.4 Hệ quả của định lý Pitago đảo
- 3 Hệ quả và các ứng dụng của định lý Pitago
- 3.1 Bộ ba số Pytago
- 3.2 Số phức
- 3.3 Đẳng thức lượng giác Pytago
Nhà toán học Pytago
Địtnh lý Pytago trong hình học được đặt theo tên nhà toán học, khoa học Hy Lạp cổ đại vào hàng bậc nhất trong lịch sử – Pytago, hay Pythagoras (tiếng Anh).
Pytago (570-490 TCN) sinh ra tại hòn đảo Samos xinh đẹp (bờ biển phía Tây Hy Lạp). Ông nổi tiếng với sự thông minh, kiệt xuất của mình từ khi còn đang tuổi thanh niên. Đó cũng là lý do dẫn đến việc Pytago được khuyên nên tới Memphis, Ai Cập để học hỏi những người tế lễ tài giỏi ở đó.
Mặc dù những hiểu biết về mối liên hệ trong định lý Pitago được cho là đã được biết đến trước thời của ông, nhưng từ những tư liệu lịch sử đã ghi lại, ông được coi là người đầu tiên chứng minh được định lý này.
Sau này, Pytago theo đuổi nền khoa học ở các dân tộc khác nhau, điều này khiến ông từng dành nhiều năm nghiên cứu tại Ấn Độ, Ai Cập, Babylon và đương nhiên ông trở nên uyên bác ở hầu hết các lĩnh vực quan trọng như Số học, hình học, y học, triết học, thiên văn học….
Lý thuyết định lý Pitago
Chứng minh định lý Pitago
Ngoài Pytago, có một số chứng cứ cho rằng các nhà toán học Babylon đã hiểu về công thức này, mặc dù có ít tư liệu cho thấy họ đã sử dụng nó trong khuôn khổ của toán học..Các nhà toán học khu vực Ấn Độ, Trung Quốc và Lưỡng Hà cũng đã tự khám phá ra định lý này và ở một số nơi, họ còn đã đưa ra chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt.
Chứng minh cho định lý này có rất nhiều, nhiều nhất trong các định lý toán học. Cách chứng minh đa dạng, bao gồm cả chứng minh bằng hình học và đai số, một số có lịch sử hàng nghìn năm tuổi.
Định lý Pitago còn được tổng quát hóa bằng nhiều cách khác nhau, bao gồm cho không gian đa chiều, không gian phi Euclid, cho các tam giác bất kỳ,…
Định lý Pitago còn thu hút nhiều sự chú ý từ bên ngoài phạm vi toán học, như là một biểu tượng toán học thâm sâu, bí ẩn, hay sức mạnh của trí tuệ; nó còn được nhắc tới khá nhiều trong văn học, âm nhạc, con tem hay phim ảnh.
Định lý Pitago thuận
Được phát biểu rằng: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
ĐỊnh lý có thể viết thành một phương trình liên hệ độ dài của các cạnh tam giác là a, b, c, thường được gọi là “công thức Pitago”:
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
Cụ thể: Với \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta sẽ có:
\(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\)
Định lý Pitago đảo
Lý thuyết định lý Pitago đảo được phát biểu như sau:
Nếu một tam giác bất kỳ có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ trong \(\Delta ABC\), nếu \(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\) thì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông tại A.
Có thể chứng minh định lý đảo trên bằng cách sử dụng định lý Cos hoặc định lý Pitago thuận.
Hệ quả của định lý Pitago đảo
Hệ quả của định lý Pitago đảo là có thể xác định được tam giác đó là tam giác gì (tam giác tù, vuông, hay nhọn).
Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có \(a+b> c\), ta có:
- Nếu [latex]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/latex], suy ra đó là tam giác vuông.
- Nếu \(a^{2}+b^{2}> c^{2}\), suy ra đó là tam giác nhọn.
- Nếu \(a^{2}+b^{2}<c^{2}\), suy ra đó là tam giác tù.
Hệ quả và các ứng dụng của định lý Pitago
Bộ ba số Pytago
Một bộ ba số Pytago là ba số nguyên dương a, b, c, sao cho [latex]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/latex]. Những chứng cứ từ những điểm khảo cổ ở miền bắc châu Âu cho thấy người cổ đại đã biết đến những bộ ba này trước điểm có những văn tự ghi chép lại. Các bộ ba số này thường được viết là (a, b, c). Một số bộ hay gặp là (3, 4, 5) và (5, 12, 13).
Một bộ ba số Pytago gọi là bộ ba số Pytago nguyên thủy khi các số a, b và c nguyên tố cùng nhau (hay ước chung lớn nhất của a, b và c bằng 1).
Liệt kê các bộ ba số Pytago nguyên thủy nhỏ hơn 100 (gồm 16 bộ số):
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).
Số phức
Với một số phức bất kỳ \(z=x+iy\) thì giá trị tuyệt đối hay môđun của nó cho bởi:
\(r=\left | z \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
Do đó ba đại lượng r, x và y có liên hệ với nhau bởi phương trình Pytago như sau:
\(r^{2}=x^{2}+y^{2}\)
Chú ý: r được xác định là số thực dương hoặc bằng 0.
x và y có thể nhận giá trị dương hoặc âm.
Xét về mặt hình học thi r là khoảng cách từ z đến điểm O hoặc gốc tọa độ trong mặt phẳng phức.
Từ định nghĩa trên, ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm, ví dụ z1 và z2. Khoảng cách cho bởi:
\(\left | z_{1} -z_{2}\right |=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
Suy ra: \(\left | z_{1} -z_{2}\right |^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
đây cũng chính là dạng phương trình Pytago.
Đẳng thức lượng giác Pytago
Trong tam giác vuông với hai cạnh kề a, b và cạnh huyền c, thức lượng giác xác định Sin và Cos của góc\(\theta\) giữa cạnh a và cạnh huyền như sau:
\(Sin\theta =\frac{b}{c},Cos\theta =\frac{a}{c}\).
Suy ra
\(Cos^{2}\theta +Sin^{2}\theta =\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1\)
với bước cuối cùng áp dụng định lý Pitago.
Liên hệ giữa sin và cos đôi khi được gọi là đồng nhất thức lượng giác Pytago cơ bản.
Trên đây là những thông tin hữu ích về định lý Pitago, hy vọng đã cung cấp được cho bạn những kiến thức nhất định phục vụ cho quá trình học tập của bản thân. Nếu có bất cứ câu hỏi nào thêm liên quan đến định lý Pitago, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để cùng Dinhnghia.vn trao đổi thêm nhé.