Đề thi hsg toán 9 tỉnh phú thọ năm 2008-2009
- 1. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 8 3x 5 25 x y y 2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= .4 3 7 n n n Câu 2( 4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1 2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn . 2 2 2 x x yz y z z xy a b c Chứng minh rằng 2 2 2 a bc b ca c ab x y z Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: 2 6x 0 x m (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 2 2 1 2 12 x x 2) Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 8x 27 18 4x 6x y y y y Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. a) CMR: 2 2 2 2 D HA HB HC H không đổi. b) CMR : RS PQ là tứ giác nội tiếp. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: D ABC S ≤ 4 MN NP PQ QM AC Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 3 2 3 2a 3 2 6 ab bc ca a b c a b c b c c a b ---Hêt—
- 2. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) Hướng dẫn Câu1.1) 2 8 3x 5 25 x y y Z x x y x x y x x y 5 3 25 40 24 9 5 3 25 8 25 8 ) 5 3 ( 2 2 Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được ) 5 ; 0 ( ); 7 ; 2 ( ); 31 ; 10 ( ) ; ( y x ( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích) 1.2) Với n chẵn n=2k thì N m m t n t k k k k A k k k k k 6 14 1 14 2 1 7 7 1 2 7 ) 9 16 ( 4 ). 1 2 ( 3 4 . 2 2 2 2 Với n lẻ n=2k+1 N m m n t k k k k A k k k k k 1 14 7 7 2 7 ) 3 4 ( 4 . 2 3 4 ). 1 2 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Vậy 6 14 m n hoặc 1 14 m n ( với mọi n ) N thì A chia hết cho 7 Câu2.1) 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1 = 2 1 2 1 3 . 2 1 3 2 1 3 . 4 3 2 4 2 1 3 . 2 3 2 2 1 3 . ) 1 5 ( 2 2 ) 1 5 ( 6 ) 1 5 ( 2 2 2.2) 2 2 2 x x yz y z z xy a b c ) 3 ( ) 3 ( 2 : ) 2 ( ) 3 ( 2 : ) 1 ( ) 3 ( 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 4 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 4 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 xyz z y x z ab c xyz z y z x y x ab y x xyz Z c Tuongtu xyz z y x y ac b z xy yz y x z x ac z x xz y y b Tuongtu xyz z y x x bc a yz x xz xy z y bc z y yz x x a xy z c xz y b yz x a Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm 9 0 / m (*) Mặt khác ta phải có 8 2 . 4 2 . 6 12 . 6 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 m x m x x x x x m x x x x x x m x x x x TM ĐK (*) 3.2)Giải hệ phương trình 2 2 3 3 3 6 4 18 27 8 y x y x y y x
- 3. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ 1 6 4 18 27 8 2 2 3 3 y x y x y x Đặt b y a x 3 2 ta có hệ 1 3 3 18 2 2 3 3 ab b a ab b a b a Hệ có 2 nghiệm 5 3 6 ; 4 5 3 ; 5 3 6 ; 4 5 3 ) , ( y x Câu 4.1) O H R S P Q D C B A a) theo Pitago ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AD HD HA CD HD HC BC HB HC AB HB HA suy ra đpcm b)Tứ giác HPBS nội tiếp DBC HBS HPS Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật CBD CAD HAQ HPQ Do đó CBC HPQ HPS SPQ 2 Tương tự BDC SQR 2 Do đó 0 0 180 180 SRQ SPQ BDC DBC nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo) 4.2)
- 4. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) L K P Q I C N D M A B Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam giác vuông ta có AC AI IK CL KL QM PQ NP MN 2 ) ( 2 từ đó suy ra đpcm Cách 2 Ta có theo Pitago 2 2 ) ( 2 2 2 2 BN BM MN BN BM BM BN MN ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky) Tương Tự 2 ; 2 ; 2 AM AQ MQ DQ DP PQ NP CN NP Nên dpcm a QM PQ NP MN a a a AM QA DQ PD CP NC NB BM QM PQ NP MN 2 4 2 2 2 2 4 2 Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật Câu 5 Cho a,b c>0 .Chứng minh rằng: 6 2 3 3 2 2 3 c b a c b a ca c b a bc c b a ab Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b Tacó áp dụng BĐT z y x z y x z y x z y x 1 1 1 9 1 1 9 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 (1) 3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2 ab ab ab ab ab a a b c a c b c b a c b c b a c b c Tương tự
- 5. chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang) 1 1 1 1 (2) 2 3 ( ) ( ) 2 9 2 9 2 1 1 1 1 (2) 3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2 bc bc bc bc bc b a b c a b a c c a c b c b a b b c ac ac ac ac ac c a b c a b b c a a b b c a a b b c Từ (1) (2) (3) 6 2 9 1 c b a c b a c a ab bc c b ac ab b a bc ac P Dấu “=” xảy ra khi a=b=c