Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến
Tính chất của đường trung tuyến
Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.
Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:
- 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
- Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1:Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Định lý 2:Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Ví dụ:
Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC
Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân
- Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau
Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mclà độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó
Ví dụ minh họa
Bài 1:Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:
Bài 2:Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP
Lời giải
Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP
Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M
=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
=> MI ﬩ NP
Bài 3:Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2+ c2= 5a2thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
Lời giải:
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Đặt BE = mb, CD = mc
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Vậy b2+ c2= 5a2thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)
Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a) M là trung điểm của CD
Lời giải:
a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác
Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b. A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra AM = 1/2 BC
Bài 5:Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.
b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.
Lời giải:
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
HB = HC
Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
AH chung
HB = HC
⇒ ΔAHB = ΔAHC (c - c - c)
b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I
Bài 6:Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:
a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau
b. KB = KC
c. BC < 4KM
Lời giải:
a. Ta có: AB = AC (gt)
⇒ BN = CM
Xét ΔBCN vàΔCBM có:
BC là cạnh chung
BN = CM
Nên tam giác KBC cân tại A
Suy ra KB = KC
c. Xét ΔABCcó:
NA = NB (CN là đường trung tuyến)
MA = MC (MB là đường trung tuyến)
Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC
Xét tam giác NKM có:
NM < NK + KM (bất đẳng thức Cauchy trong tam giác)
NK = CN – CK
⇒ BC/2 < CN - CK + KM(1)
ΔBNC = ΔCMB⇒ CN = BM (2)
Tam giác KBC cân tai K⇒ CK = BK (3)
Từ (1), (2), (3)⇒ BC/2 < BM - BK + KM
⇒ BC/2 < 2KM
⇒ BC < 4KM
Nếu như việc chứng minh công thức tính độ dài đường phân giác khá phức tạp thì việc chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến lại dễ hơn khá nhiều !
Thật vậy, bạn chỉ cần áp dụng định lý hàm côsin và hệ quả của định lý hàm côsin là xong.
Vâng, trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này mình chỉ chứng minh công thức cho một đường trung tuyến mà thôi, hai đường trung tuyến còn lại các bạn chứng minh tương tự ha,
#1. Đường trung tuyến là gì?
Khi nhắc đến khái niệm đường trung tuyến thì mặc định chúng ta sẽ hiểu là đường trung tuyến trong tam giác.
Đường trung tuyến trong tam giác là một đường thẳng đi qua đỉnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện.
Mỗi tam giác sẽ có ba đường trung tuyến, ba đường này sẽ đồng quy (giao nhau) tại một điểm và điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.
Ví dụ như hình bên trên: $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$
Và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
#2. Tính chất đường trung tuyến
Đối với đường trung tuyến trong tam giác thì chúng ta sẽ có 3 tính chất như sau:
- 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó sẽ cách các đỉnh của tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến thì được gọi là trọng tâm.
- Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng với độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:
Vâng, tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác. Tam giác vuông luôn có một góc bằng 90o, và hai cạnh tạo nên góc này sẽ vuông góc với nhau.
Vậy nên đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến trong tam giác thường. Ngoài ra, có 2 định lý rất quan trọng mà bạn cần phải nhớ đó là:
- Định lý 1: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền sẽ bằng một nửa cạnh huyền.
- Định lý 2: Ngược lại, một tam giác mà có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy sẽ là tam giác vuông.
Chúng ta sẽ sử dụng 2 định lý này rất nhiều trong quá trình giải bài tập, vậy nên bạn hãy nhớ nhé !
Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân:
- Đối với 2 loại tam giác đặc biệt này thì đường trung tuyến ứng với cạnh đáy sẽ vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác ra thành 2 tam giác bằng nhau.
#3. Nhắc lại một số công thức có liên quan
Định lí côsin và hệ quả của định lý côsin là kiến thức mà bạn phải nắm được nếu muốn chứng minh được công thức tính độ dài đường trung tuyến.
3.1. Định lý côsin
Trong tam giác $ABC$, với $BC=a, CA=b, AB=c$ ta luôn có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
3.2. Hệ quả của định lý Côsin
Xuất phát từ định lý côsin, viết các công thức tính giá trị của $\cos A, \cos B, \cos C$ theo $a, b, c$ chúng ta sẽ thu được hệ quả của định lý côsin.
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
#4. Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác $ABC$ có $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$
Đặt $BC=a, CA=b, AB=c, AA’=m_a, BB’=m_b, CC’=m_c$
Lúc này độ dài các đường trung tuyến sẽ được tính theo công thức:
$m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$, $m_b=\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}}$, $m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}$
#5. Các bước chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến
Chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến $m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$
Áp dụng định lý côsin vào tam giác $ABA’$ ta được $m_a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+c^2-2\frac{a}{2}c\cos B$
Áp dụng hệ quả của định lí côsin vào tam giác $ABC$ ta được:
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, thay $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ vào $m_a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+c^2-2\frac{a}{2}c\cos B$ ta được $m_a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+c^2-2\frac{a}{2}c\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ $(*)$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+c^2-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{2c^2}{2}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{2c^2-(a^2+c^2-b^2)}{2}$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{2c^2-a^2-c^2+b^2}{2}$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{c^2-a^2+b^2}{2}$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+\frac{c^2+b^2}{2}$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}-\frac{2a^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}$
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=-\frac{a^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}$
$(*) \Rightarrow m_a=\sqrt{-\frac{a^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}}$
Chứng minh hoàn thành …
Gợi ý cách chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến $m_b$ và $m_c$
- Áp dụng định lý côsin vào tam giác $B’BC$ ta được $m_b^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2-2\frac{b}{2}a\cos C$
- Áp dụng định lý côsin vào tam giác $C’CB$ ta được $m_c^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2+a^2-2\frac{c}{2}a\cos B$
#6. Công thức tính độ dài trong những tam giác đặc biệt
Trong những tam giác đặc biệt (tam giác đều, tam giác cân) sẽ có những công thức tính đặc biệt, giúp bạn tính nhanh hơn.
Vì công thức tính đặc biệt đơn giản hơn công thức tính tổng quát nên chúng ta thường cố gắng tìm – chứng minh – sử dụng chúng.
6.1. Tam giác đều
Cho tam giác đều $ABC$ có $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$
Đặt $BC=CA=AB=a, AA’=m_a, BB’=m_b, CC’=m_c$
Lúc này độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ sẽ được tính theo công thức $m_a=m_b=m_c=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
6.2. Tam giác cân
Cho tam giác cân $ABC$ (cân tại $A$) có $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh $A, B, C$
Đặt $BC=a, CA=AB=b, AA’=m_a, BB’=m_b, CC’=m_c$
Lúc này độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ sẽ được tính theo các công thức $m_a=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$, $m_b=m_c=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{4}}$
#7. Lời kết
Vâng, trên đây là đầy đủ khái niệm, tính chất đường trung tuyến, cũng như là cách tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
Một bộ phân không nhỏ các bạn học sinh, thậm chí là sinh viên không bao giờ đọc các chứng minh.
Đây thực sự là một hạn chế khá lớn, bởi việc đọc các chứng minh không chỉ giúp bạn nhớ được công thức, định lý mà còn gián tiếp giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận, tư duy, cũng như kỹ năng chứng minh, …
Vậy nên bạn hãy cố gắng đọc các chứng minh nhé, hãy bắt đầu ngay với chứng minh của mình, mình đã cố gắng trình bày chi tiết nhất có thể, vậy nên mình tin chắc là bạn có thể hiểu được một cách dễ dàng.
Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn
Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !