Đáp án A
Xét hàm số f(x)=2x3-2mx+3 trên (1;+∞).
Ta có: f'(x)=6x2-2m=0. Khi đó denta'=12m.
Chú ý: Đồ thị hàm số y=|f(x)|=|2x3-2mx+3|được suy ra thừ đồ thị hàm số y=f(x) (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.
- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C)nằm dưới Ox.
Để hàm số y=|2x3-2mx+3| đồng biến trên (1;+∞)thì có 2 trường hợp cần xét:
TH1: Hàm số f(x)=2x3-2mx+3luôn đồng biến và không âm trên (1;+∞)
Vì m∈ℤm∈(-10;10)=>m∈{-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2}.
TH2: Hàm số f(x)=2x3-2mx+3luôn nghịch biến và không dương trên (1;+∞)
Vậy có tất cả 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng $\left( { - 10;10} \right)$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - ?
A. 12.
B. 11.
C. 0.
D. 10.
Phương pháp tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn
- Bước 1: Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì f’ (x0) = 0, tìm được tham số.
- Bước 2: Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại.
Dạng 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Phương pháp
Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau:
–Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔
–Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔
Bài tập mẫu
Bài tập 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
A. m = -1.
B. m = -5.
C. m = 5.
D. m = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có y’ = x2 – 2mx + m2 – 4 ⇒ y’’ = 2x – 2m
Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì
y’ (3) = 0 ⇔ m2 – 6m + 5 = 0 ⇔
Với m = 1, y’’ (3) = 2.3 – 2.1 = 4 > 0 suy ra x = 3 là điểm cực tiểu.
Với m = 5, y’’ (3) = 2.3 – 2.5 = -4 < 0 suy ra x = 3 là điểm cực đại.
Bài tập 2: Hàm số y = ax3 + x2 – 5x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của H = 4a – b là
A. H = 1.
B. H = -1.
C. H = -2.
D. H = 3.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = 3ax2 + 2x – 5 ⇒ y’’ = 6ax + 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’ (1) = 0 ⇔ a = 1.
Thay a = 1 ta thấy y’’ (1) = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu.
Mặt khác ta có: y (1) = 2 ⇔ 1 + 1 – 5 + b = 2 ⇔ b = 5
Vậy H = 4. 1 – 5 = -1.
Bài tập 3: Hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f (0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f (1) = 1. Giá trị của biểu thức T = a + 2b – 3c + d là
A. T = 2
B. T = 3
C. T = 4
D. T = 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có f’ (x) = 3ax2 + 2bx + c.
Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f (0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f (1) = 1 nên ta có hệ phương trình
Bài tập 4: Giá trị của m để hàm số y = x3 + mx – 1 có cực đại và cực tiểu là
A. m ≥ 0
B. m ≤ 0
C. m > 0
D. m < 0
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hàm số y = x3 + mx – 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Do đó m < 0.
Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên có các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 5: Với giá trị nào của m thì hàm số H10 có cực trị?
A.
B. m < 1
C.
D. m ≤ 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = mx2 + 2x + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x2 + x + 7, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.
Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu.
Xét m # 0, để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0
⇔ 1 – m > 0 ⇔ m < 1.
Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị.
Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.
Bài tập 6: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx3 – 3mx2 – (m – 1) x + 2 không có cực trị.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’ = 3mx2 – 6mx – m + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên ℝ nên không có cực trị, nhận m = 0.
Xét m ≠ 0, hàm số không có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
⇔ ∆’ = 9m2 – 3m (1 – m) ≤ 0 ⇔ 12m2 – 3m ≤ 0 ⇔ .
Hợp cả hai trường hợp, khi thì hàm số không có cực trị.
Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m ∊ [-20; 20] để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu là
A. 18
B. 17
C. 19
D. 16
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y’ = (m – 1) x2 + 2(m2 – 4) x + (m2 – 9).
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu
⇔ (m – 1)(m2 – 9) < 0 ⇔
Vậy m ∊ {-20; -19; …; -4; 2}, có 18 giá trị của m.
Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx3 + m (m – 1) x2 – (m + 1) x -1 có hai điểm cực trị đối nhau?
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’= 3mx2 + 2m (m – 1) x – (m + 1).
Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm đối nhau
⇔
Bài tập 9: Giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương là
A .
B.
C. m < 0
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = mx2 + 2 (m – 1) x + m + 2.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương
⇔
Bài tập 10: Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m) x2 + (2 – m) x +m + 2. Các giá trị của m để đồ thì của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 + 2 (1 – 2m) x + 2 – m.
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = (1 – 2m)2 – 3 (2 – m) > 0 ⇔ 4m2 – m – 5 > 0 ⇔
Khi đó, giả sử x1, x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình y’ = 0.
Bảng biến thiên
Khi đó, yêu càu bài toán trở thành:
x2 < 1 ⇔
⇔
Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < -1 và
Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau:
Xét x1 < x2 < 1
⇔
⇔
⇔
Bài tập 11: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx – 1 nằm bên phải trục tung.
A. m < 0
B.
C.
D. Không tồn tại
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 + 2x + m.
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = 1 – 3m > 0 ⇔ (1).
Khi đó, giả sử x1, x2 (với x1 < x2) là nghiệm của phương trình y’ = 0 thì
Bảng biến thiên
Do
⇔ x1 x2 < 0 ⇔
Từ (1), (2) ta có m < 0.
Bài tập 12: Giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn yêu cầu x1 < -2 < x2 là
A. m < 2
B. m < 2 hoặc m > 6
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: y’ = x2 – 2 (m – 2) x + (4m – 8).
Yêu cầu bài toán trở thành
(x1 + 2) (x2+2) < 0 ⇔ (4m – 8) + 4 (m – 2) + 4 < 0 ⇔ .
Bài tập 13: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (x – m) (x2 – 2x – m – 1) có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 2
B. -2
C. 4
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 – 2 (m + 2) x + m – 1.
Hàm số có hai điểm cực trị khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = m2 + m + 7 > 0 (luôn đúng).
Theo định lí Vi-ét ta có:
Vậy tổng cần tìm bằng 4 + (-2) = 2.