Chyên đề pt bậc hai 1 ẩn toán 9 violet

Trong chương trình toán THCS xuất hiện rất nhiều dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai đặc biệt là trong chương trình toán 9 vì vậy nếu biết hướng dẫn học sinh giải dưới nhiều cách khác nhau là một thành công lớn đối với giáo viên. Tuy nhiên nếu đơn giản hoá bài toán thì càng giúp cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo và phát huy được tính tích cực của học sinh do vậy tôi đưa ra một số dạng toán để từ đó phân tích giúp các em có một cách nhìn toàn diện về sử dụng điều kiện có nghiệm của PTBH qua đó giải nhanh một số bài toán trong các đề thi chọn HSG

- Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình

- Giải phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn

- Giải phương trình nghiệm nguyên

- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

- Giải phương trình vô tỷ

- Chứng minh bất đẳng thức

Chúng ta biết rằng những dạng toán trên có thể có nhiều cách giải. Tuy nhiên chọn cách giải nào hợp lí nhất là một vấn đề luôn hướng tới cho mọi người dạy và học toán.

Trong quá trình giảng dạy chúng tôi đã tìm ra ứng dụng của biệt thức “

”. Nó chiếm một vị trí rất quan trọng khi giải bài tập dạng này. Vận dụng biệt thức “ ” một các khéo léo có thể tìm ra lời giải gọn gàng và nhanh chóng đồng thời tạo cho các em niềm vui, niềm tin trong học tập chính vì vậy chúng tôi mạnh dạn đưa ra đề tài “Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai vào giải nhanh một số dạng toán” . Rất mong được bạn đọc tham khảo, góp ý

- Trong chương trình toán THCS rất nhiều bài tập liên quan đến dạng này. Đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi cũng như các cuộc thi vào các trường chuyên hay thi giải toán qua mạng… Do vậy để học sinh có thể giải nhanh các dạng toán này ngoài các cách giải khác thì có thể nói cách giải này cũng là một cách giải nhanh. Nhưng trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số dạng điển hình.

III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xuất phát từ cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn tôi đưa ra đề tài này với mục đích để cho học sinh và người đọc thấy được việc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai vào giải một số dạng toán một cách tiện lợi mặc dù bài toán đó có nhều cách giải khác nhau tuy nhiên nếu biết cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai vào đây thì việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn, qua đó hình thành cho học sinh một cách nhìn bài toán dưới nhiều hướng khác nhau để từ đó giúp học sinh phát triển tư duy và có định hướng tốt khi giải các bài toán.

IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI ÁP DỤNG

Xuất phát từ một số bài toán gốc mà tôi đưa ra trong đề tài này từ đó phát triển bài toán để đưa ra các dạng toán phù hợp và có thể tổng quát hoá để giúp học sinh có một cách xâu chuỗi vấn đề và nhìn các bài toán với một cách giải nhanh chóng vì vậy đề tài này chỉ áp dụng được cho các đối tượng là học sinh khá giỏi.

1. NỘI DUNG

Ta biết rằng: Phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm khi và chỉ khi

hoặc ( b’2 – ac ≥ 0 )

Bắt đầu từ bài toán đơn giản

Bài toán 1: Cho phương trình

(1) (với y là tham số). Tìm y để phương trình luôn có nghiệm.

Giải: Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm khi và chỉ khi

Nhận xét 1: Từ kết quả bài toán 1 ta có giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của y để phương trình có nghiệm lần lượt -3; 1. Nếu ta coi y là một ẩn của phương trình (1) thì bài toán có thể diễn đạt theo một cách khác như sau. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của y thoã mãn (1). Từ đó ta sẽ có một dạng toán mới như sau.

DẠNG 1. TÌM NGHIỆM LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1.1

Trong mọi cặp số (x,y) thoả mãn phương trình

(*) .Tìm 2 cặp số (x,y) mà y có giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.

Giải :

Giả sử (

; ) là cặp số thoả mãn phương trình đã cho, tacó:

(*)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

Giá trị lớn nhất của y­0 là 1, giá trị nhỏ nhất của y0 là -3

Với

thì

Với

thì

Vậy hai cặp số cần tìm là (-1: 1) và (3;-3)

Lưu ý. Bài toán trên có thể được phát biểu một cách khác như sau

Bài 1.2 Cho các số thực x,y thoả mãn

.

Chứng minh

Tương tự các bài toán trên các bạn hãy giải các bài tập sau

1. Cho x, y thoả mãn
   . Chứng minh

HD: Ta xem bài toán trên là phương trình bậc hai ẩn là y và dùng điều kiện có nghiệm ta sẻ giải một cách dễ dàng

1. Cho x
   , y
   thoả mãn
   .Chứng minh x

HD: Đưa phương trình trên về phương trình bậc hai ẩn y rồi dùng điều kiện có nghiệm ta sẽ giải được dễ dàng

1. Cho các số thực thoả mãn

Chứng minh

HD:

Từ đó ta lập được phương trình bậc hai ẩn t là : t2 – (x3- x)t + x2 = 0 và dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ta sẽ giải quyết bài toán một cách dễ dàng

Để thấy được việc sử dụng điều kiện có nghiệm cho ta giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng hơn chúng ta tiếp tục xét dạng toán sau.

DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN

Bài 2 . Tìm các cặp giá trị x, y thoả mãn

Giải: Giả sử (

; ) là cặp số thoả mãn phương trình đã cho, tacó:

(2)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi

Với y0 = -1 thì x0 = -y

\= 1 . Vậy cặp giá trị cần tìm là (1;-1)

Lưu ý : Ta có thể giải phương trình trên bằng cách khác như sau:

Tuy nhiên có những bài toán mà các hệ số ở trước các ẩn lớn mà đưa được về dạng trên là khó, thì việc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai sẽ gúp ta giải nhanh chẳng hạn bài toán sau.

Bài 2.1 Tìm cặp giá trị (x;y) thoả mãn hệ thức

(4)

Giải

giả sử (x0 ; y0) là cặp giá trị thoả mãn (4) ,ta có

có nghiệm khi và chỉ khi

vì nên phương trình có nghiệm khi y0 – 1 = 0

y0 = 1

Với y0 = 1 thì x0 =2 .Vậy cặp số (x,y ) cần tìm là (2;1)

Để giải các bài toán này thông thường học sinh phân tích vế trái thành nhân tử hoặc đưa về tổng các bình phương còn vế phải bằng 0, hay bằng phương pháp loại trừ… Các phương pháp này học sinh biến đổi thường gặp rất nhiều khó khăn dẫn đến bài toán bế tắc và phức tạp. Nhưng nếu biết vận dụng biệt thức “

” vào đây thì bài toán trở nên rất đơn giản và dễ dàng.

Chúng ta tiếp tục đi xét các bài toán sau

Bài 2.2 Tìm cặp số ( x; y ) thoả mãn phương trình

5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0 (1)

Thông thường đối với các bài toán như thế này học sinh thường biến đổi về dạng

( x – y +1 )2 + ( x – 2y )2 \= 0

Tuy nhiên để biến đổi về được như vậy đòi hỏi học sinh phải có một kĩ năng biến đổi tốt và phải mất nhiều thời gian. Để khắc phục tình trạng trên thì ta có thể dùng biệt thức “

” và coi phương trình trên là phương trình ẩn y ta sẽ được như sau

(1)

5y2 – 2(3x+1)y +2x2 + 2x +1 = 0 (2)

’ = (3x+1)2 – 5(2x2 + 2x +1) = - (x+2)2 0

(2) có nghiệm

x + 2 = 0 x = -2

Thay x = -2 vào (1) ta được y = -1

Vậy cặp số thoả mãn phương trình trên là ( -2;-1 )

Tương tự bài toán trên ta tiếp tục xét bài toán sau nhưng được phát biểu dưới dạng khác như sau

Bài 2.3 Giải phương trình x2 + 2y2 – 2xy + 2y - 4x +5 = 0 (1)

Tương tự bài toán trên ta xem đây là phương trình bậc hai với ẩn là x khi đó

(1)

x2 – 2(y +2)x + 2y2 + 2y + 5 = 0

’ = (y+2)2 – ( 2y2+2y+5) = - (y-1)2 và tương tự ta giải ra được x và y

Đối với phương trình có hai ẩn thì ta có thể xem một ẩn là tham số và dùng điều kiện có nghiệm của PTBH để giải nhưng đối với hệ phương trình thì lúc đó ta sẽ giải quyết vấn đề đó như thế nào? Ta cùng xét bài toán sau:

Bài 2.4 Giải hệ phương trình sau

Đối với hệ phương trình này chúng ta có các cách giải khác nhau ví dụ ta có thể cộng hai phương trình trên và kết hợp với phương trình (1) ta sẻ được hệ phương

trình mới như sau

Nhân phương trình thứ hai của hệ mới này với 5 và lấy phương trình thứ nhất của hệ trừ cho phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình hệ quả mới là:

15y2 -20xy + 6x – y + 48 = 0. Đến đây chúng ta sẻ gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình giải và có thể chúng ta sẽ không giải được tiếp nữa.

Ngoài phương pháp giải trên chúng ta thử nghĩ xem có phương pháp nào khác nữa không? Sau đây tôi xin mạnh dạn đưa ra cách dùng den ta để giải và nó cho thấy rất hiệu quả.

Ta xem (1) là phương trình bậc 2 ẩn là x và tính

Tương tự ta xem phương trình (2) ẩn là x và khi đó tính

Để (x;y) là nghiệm của hệ thì

giải ra ta có nghiệm của hệ là (2,8 ; 2,4) : ( -3,2; -0,6 )

(3,4 ; 1,2) : ( -2,6; -1,8 )

Xuất phát từ bài toán trên ta có bài toán mới khó hơn một tí

Bài 2.5 giải hệ phương trình sau

(Trích đề thi HSG tỉnh nghệ an bảng A năm 2013- 2014 )

Đối với hệ phương trình này cũng có thể có rất nhiều cách giải khác nhau tuy nhiên nếu để ý và nhận xét thì chúng ta có thể giải một cách rất nhanh nhờ kỹ thuật sử dụng đen ta.

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta đặt

; t ≥ 0 thì ta chuyển ngay phương trình thứ nhất của hệ đó về phương trình bậc hai đối với t là 2t = 3 – t2 và giải phương trình này cho ta hai giá trị của t là t = 1 và t = - 3 kết hợp điều kiện của t cho ta t = 1

Với t = 1 thay vào và ta rút ra được x = 1 – 2y thay vào phương trình thứ hai của hệ và biến đổi ta được phương trình bậc hai đối với y là. 7y2 – 6y – 1 = 0

Giải phương trình này ta được y = 1 và y =

. Từ đó ta tính được x = -1 và x =

Tương tự bài toán trên chúng ta đi xét bài toán khó hơn.

Bài 2.6 Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau

HD: Cách giải hoàn toàn tương tự bài toán trên và giải ra ta được nghiệm nguyên của hệ phương trình là ( 1; 0) hoặc ( 0; 1 )

Tiếp tục khai triễn biệt thức “

” ta sẽ thấy thú vị hơn nữa

Trở lại bài toán 1) Cho phương trình

(1) (với y là tham số). Tìm y để phương trình luôn có nghiệm.

Giải : Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm khi và chỉ khi

ở bài toán (1) nếu cho x, y là các số nguyên thì từ điều kiện của y ta tìm được ngay các giá trị của y là (-3; -2; -1; 0; 1) và từ đó ta tìm được các giá trị của x . Từ đây ta sẽ có dạng toán mới như sau

DẠNG 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên

Giải : Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm khi và chỉ khi

Vì y nguyên nên y nhận các giá trị là (-3; -2; -1; 0; 1), từ đó thay giá trị của y vào và ta tìm được các giá trị nguyên của x là ( -1; 3 ). Vậy phương trình có nghiệm nguyên là (3;-3), (-1;1), (-1;-1), (3;-1). Tương tự bài toán đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu bài toán sau

Bài 3.1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2x2 + xy + y2 – 4 = 0 (1)

Giải bài toán này cũng hoàn toàn tương tự bài toán 3 ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn là x và tính

\= -7y2 + 32

Để (1) có nghiệm thì

vì y Z nên y = 0 ; ± 1 ; ± 2

Thay vào và tìm được x = 0 hoặc x = 1

Từ bài toán trên ta xét bài toán tổng quát sau

Bài toán tổng quát

Tìm cặp số(x;y) nguyên thoả mãn phương trình

ax2 + bxy + cy2 + d = 0 (1) ( a,c khác 0 )

Ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x hoặc ẩn y khi đó ta tính

. Chẳng hạn ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y khi đó ta tính được

+ Nếu

≥ 0 từ đó kết hợp điều kiện x,y nguyên ta tính được các giá trị x,y

+ Nếu

\> 0 với thì ta phải đặt \= k2 ( số chính phương) lúc đó ta lại đi tìm cặp (y;k) thoã mãn phương trình trên. Từ đó ta tìm được y và thay vào ta sẽ tính được x cụ thể ta xét bài toán sau

Bài 3.2 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

(1)

Tương tự bài toán trên ta xem phương trình ẩn x và tính

Đên đây học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên nếu biết khai thác giả thiết bài toán một tí thì cũng không phải là khó khăn. Để (1) có nghiệm nguyên thì

phải là số chính phương tức là .

Vì 2y – k và 2y + k cùng tính chẳn lẻ

­( loại )

­ Hoặc

( loại)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Tương tự các bài toán trên ta có các bài tập sau

Bài 3.3 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau

Tiếp tục nghiên cứu điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ta xét bài toán sau

Ta biết rằng : Cho f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )

Nếu a > 0 và

f(x) chẳng hạn ta xét bài toán sau

Bài 3.4 Cho f(x) = x2 -2x + 5 . Chứng minh rằng f(x) \> 0 với mọi x

Giải : Ta có a =1 > 0 và

\= 4 – 5.4.1 = -16 < 0 nên f(x) > 0 với mọi x . Đối với trường hợp 1 ẩn thì ta thực hiện đơn giản nhưng nếu gặp trường hợp 2 ẩn, 3 ẩn thì ta thực hiện như thế nào? Ta xét bài toán sau

Bài 3.5 Chứng minh rằng

với mọi x, y, z

Tương tự các bài toán trên ta xem vế trái của bài toán này là một tam thức bậc hai ẩn là x và khi đó ta có

. Vì a > 0 và nên f­(x) với mọi x, y, z

Tương tự bài toán trên ta có bài toán sau

Bài 3.6 Cho đẳng thức

chứng minh rằng ( y – 1)2

HD: Chuyển vế và xem đây là phương trình bậc hai ẩn là x.

Ta tính

\= - 3( y2 – 2y +1 ) + 4 để (1) có nghiệm thì .

Tương tự ta xem (1) là phương trình bậc 2 ẩn y và cũng tính

ta sẽ được điều phải chứng minh

Qua các bài tập dạng như trên ta thấy nếu biết vận dụng biệt thức “

” thì việc giải quyết một bài toán có thể đơn giản hơn rất nhiều tuy nhiên nếu càng nghiên cứu kĩ thì ta lại càng thấy thú vị hơn, chúng ta tiếp tục đi vào dạng tiếp theo

DẠNG 4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Bài 4 Cho phương trình

(5). Tìm m để phương tình có nghiệm

Giải : Phương trình (5) là pt bậc 2 ẩn x có nghiệm khi và chỉ khi

Nhận xét 3: phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi

Và giá trị nhỏ nhất của m để phương trình có nghiệm là 2. Nếu ta thay m bằng một biểu thức F nào đó thoả mãn phương trình (5) thì ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của F.

Bây giờ ta đi tìm biểu thức F đó.

Từ phương trình(5) ta có phương trình

Theo viét đảo thì

Vậy F = (x1+x2)3- 3 (x1+x2).x1x2 =

Nếu thay (x1; x2) = (x;y) ta có bài toán mới như sau:

Bài 4.1 Cho x, y thoả mãn x + y = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của F = x3+y3

Giải: Đặt

,Ta có

Vậy x; y là nghiệm của phương trình

tồn tại x và y khi

.Ta có F =2 x = y = 1. Vậy min F =1

Các bài giải tương tự :

Bài 4.2 Cho các số thực thoả mãn

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

Hướng dẫn giải:

Đặt F =

Ta có :

Do tồn tại x, y thoả mãn yêu cầu bài ra nên phương trình trên phải có nghiệm

Hay A

. Dấu bằng khi và chỉ khi

Vậy max A =

Bài 4.3 Cho

. Chứng minh

HD: Đặt a-b =A. Suy ra a = A + b thay vào và giải tương tự bài 4.2 ta sẽ được (ĐPCM)

Bài 4.4 Cho phương trình

(6) . Tìm P để phương trình có nghiệm.

Giải : Với P = 0 thì phương trình (6) trở thành - x = 0

là nghiệm của phương trình đã cho

Với P

0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 ẩn x, để có nghiệm thì

Vậy phương trình có nghiệm khi P

Nhận xét 4: Từ (6) ta có

Từ nhận xét này ta có bài toán mới như sau.

Bài 4.5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

với x>o .

Tương tự cách giải các bài toán trên ta có thể giải quyết bài toán này một cách hợp lí

Lưu ý: Ngoài dạng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên ta còn có thể có các bài toán đơn giản hơn và rất hay gặp như sau

Chúng ta bắt đầu từ bài toán rất đơn giản và có thể giải nhanh thay vì biến đổi đưa về dạng F(x) = (x +a)2 + b ta có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một cách dễ dàng chẳng hạn ta xét bài toán sau.

Bài 4.6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 5x2 – 4 x + 1

Đây là một bài toán rất đơn giản mà các em học sinh lớp 8 có thể giải một cách nhanh chóng. Tuy nhiên như lời ban đầu chúng tôi đã trình bày thì chúng ta có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải bài toán này

Giải Gọi a là một giá trị của biểu thức p . Biểu thức P nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 5x2 - 4x + 1 = a có nghiệm

5x2 – 4x +1 – a = 0 có nghiệm

\= 5a – 1 0 a

Vậy minP =

khi phương trình có nghiệm kép x \=

Ở bài toán trên vế phải là một đa thức nhưng nếu vế phải là một phân thức thì ta sẻ giải bài toán đó như thế nào? Chúng ta tiếp tục đi xét bài toán sau

Bài 4.7 Tìm giá trị nhỏ nhất, Lớn nhất của

Đây là bài toán dạng tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của phân thức ở lớp 8 cũng có thể giải được bài toán này tuy nhiên chúng ta dùng điều kiện có nghiệm để giải bài toán này thì bài toán này thì việc giải bài toán này trở nên đơn giản hơn

Ta đặt

(1)

Biểu thức A nhận giá trị : a khi nào?

HS: biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình ẩn x có nghiệm.

Do X2 + X + 1 ≠ 0 nên (1)

Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm X = 0

Trường hợp 2 : Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

tức là

(a +1)2 – 4.(a -1)2 ≥ 0

Với a = 3 hoặc a =

thì X = - 1

Gộp cả hai trường hợp ta có min A =

khi x = 1 ; max A = 3 khi X = -1

Phương pháp giải toán như hai bài toán trên là phương pháp tìm miền giá trị của hàm số

Đoạn

là tập giá trị của hàm số

y =

Qua bài toán đó giáo viên nhấn mạnh khắc sâu phương pháp giải. Muốn sử dụng biệt thức “

” ta phải chuyển bài toán về liên quan đến dạng tam thức bậc hai

Ta tiếp tục xét bài toán sau

Bài 4.8 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

A =

GV yêu cầu học sinh giải tương tự bài toán 2

Kết quả Min A =

tại x = -1

Max A =

tại x = 1

DẠNG 5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Một trong những phương pháp chủ yếu để giải phương trình vô tỷ là hữu tỷ hóa phương trình vô tỷ bằng các phương pháp khác nhau như bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, đánh giá hai vế … vv mục đích là chuyển phương trình vô tỷ về các phương trình hoặc hệ phương trình dạng đơn giản để có thể giải một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời gian . Tuy nhiên có những lúc các phương pháp đó có những khó khăn hoặc có thể không đơn giản lúc đó ta có thể nghĩ đặt ẩn phụ để chuyển phương trình vô tỷ về phương trình bậc hai từ đó sử dụng đen ta để giải quyết và khi đó ta có thể giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm được thời gian rất nhiều. Chẳng hạn ta xét bài toán sau

Bài 5.1 Giải phương trình sau

(1)

Đây không phải là một bài toán dể, nếu các bạn sử dụng phương pháp bình phương hai vế thì các bạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn vì lúc đó các bạn sẽ đưa phương trình trên về một phương trình bậc 4 mà phương trình này chưa nhẩm nghiệm được do đó lại làm cho bài toán càng phức tạp hơn, còn nếu các bạn đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình thì lại càng phức tạp hơn. Tuy nhiên nếu biết chuyển bài toán trên thành bài toán khác và sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai thì đây lại là bài toán đơn giản. Các bạn thử nhìn vào hai vế của phương trình ta sẽ thấy ngay vế phải có

vế trái có x2 + 1 nên nếu đặt \= t thì ta suy ra ngay x2 + 1 và đưa phương trình trên về phương trình bậc hai ẩn là t va x là tham số. Sau đây tôi xin mạnh dạn nêu ra một cách giải nhanh mà sử dụng đen ta

Đặt

9 phương trình (1) t2 – t.(x+3) +3x = 0

( x – 3)2 │x-3│

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

t = x và t = 3

Với t \= x

\= x ( phương trình này vô nghiệm)

t= 3

Các bạn thấy đấy phương pháp này rất hay và rất nhanh tuy nhiên phải biết nhận xét hai vế và chuyển phương trình trên về phương trình bậc hai mục đích để dùng đen ta và giải nhanh bây giờ chúng ta đi xét bài toán sau khó hơn rất nhiều nhé

Bài 5.2 Giải phương trình sau

(*)

Đối với bài toán này thì các bạn nghĩ sao?

Theo bản thân tôi đây là một bài toán khó tuy nhiên nếu biết cách đặt ẩn và chuyển về dùng đen ta thì đây lại là bài toán đơn giản. Sau đây tôi xin trình bày một cách giải mà dùng đen ta để giải

Đặt

; t ≥ 0

Thay vào (*) ta được

(2)

Từ (1) và (2) ta có t2.x - 2(x+1).t +4 = 0

Ta có

(x+1)2 – 4x \= (x – 1)2

Với

thay vào ta giải ra nghiệm của phương trình là x = 1

Với t = 2 thay vào và giải ra nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 3

Tương tự ta đi xét ví dụ tiếp theo

Bài 5.3 Giải phương trình sau

Đối với bài toán này chúng ta có thể giải theo các phương pháp khác nhau, sau đây tôi xin trình bày hai phương pháp để thấy được phương pháp nào hay hơn

Phương pháp 1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng

Đk xđ

Đặt

. kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ phương trình sau đây là hệ phương trình đối xứng, giải hệ phương trình này ta được a = x hoặc a = -x-1

Với a = x thay vào (*) ta đưa về được phương trình sau x2- x – 5 = 0

Giải phương trình này ta tìm được x =

hoặc x = ( loại)

Với a = -x-1 thay vào (*) ta được phương trình x2 + x - 4 = 0 và giải ra ta được

hoặc (loại)

Vậy phương trình có nghiệm là

hoặc

Nhận xét: Đối với phương pháp này khi giải chúng ta sẽ gặp một số khó khăn

+ khi đặt ẩn phụ phải lưu ý điều kiện của ẩn

+ sau khi giải ra a theo x thì phải thay vào và giải lại một lần nữa và lại chú ý điều kiện để loại nghiệm nếu không chúng ta vô tình sẽ lấy nghiệm ngoại lai

Sau đây tôi xin trình bày cách thứ hai

Các bạn để ý sẽ thấy ở hai vế của phương trình đều có 5 và nếu các bạn xem 5 là ẩn và xem x là tham số thì chúng ta sẽ chuyển bài toán về dùng kĩ thuật sử dụng đen ta để giải. Và tôi xin mạnh dạn đưa ra phương pháp giải này mặc dù các bạn thấy đây là một phương pháp hơi khác biệt vì xem 5 là ẩn tuy nhiên với cách giải này vẫn cho ta một kết quả đúng đấy các bạn ạ (Sau này ta gọi đó là phương pháp hằng số biến thiên)

Điều kiện x2 ≥ 5

khi đó (5) bây giờ ta xem 5 là ẩn chuyển vế và đặt nhân tử chung ta có phương trình sau

Từ đó ta đưa về giải hai phương trình sau

và giải hai phương trình này kết hợp với điều kiện cho ta nghiệm của phương trình là hoặc

Đối với phương pháp này nếu các bạn linh hoạt thì rất đơn giản và lại không nhầm nghiệm tuy nhiên không phải ai cũng nhìn ra phương pháp này do đó để thành thạo tôi xin đưa ra một số bài tập sau

Trên đây là một số ví dụ về kĩ thuật sử dụng đen ta để giải các bài toán về phương trình vô tỷ sau đây tôi xin đưa ra một số bài tập về dạng toán này để các em học sinh luyện thêm

Bài tập. Giải các phương trình sau

Ngoài các dạng toán trên tôi cũng mạnh dạn đưa ra một dạng nữa đó là chứng minh bất đẳng thức.

DẠNG 6. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Đối với dạng toán bất đẳng thức thực tế thì có rất nhiều phương pháp chứng minh tuy nhiên tôi cũng xin đưa ra kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm để chứng minh hi vọng rằng các bạn đọc và các em học sinh có thể vận dụng phương pháp này để từ đó chứng minh được một số bài toán về bất đẳng thức đơn giản

Bài 6.1. chứng minh rằng: 7x2 + 37x +121 > 0

x

Đối với bài toán này thì ta thấy rất đơn giản ngya học sinh lớp 8 cũng có thể làm được bằng cách tách và nhóm để đưa về hằng đẳng thức như sau :

Đặt A = 7x2 + 37x +121 = ( x2 + 2 .

\= (x + 2 + \> 0 x

Vậy A > 0

x

Tương tự chúng ta xét bài toán sau với hai biến x; y thì sao

Bài 6.2. chứng minh rằng: x2 +2y2 -2xy +2x -10y

-17

Đối với bài toán này thì các bạn nghĩ thế nào. Ở lớp dưới chắc chắn các bạn sẽ nghĩ ngay đến phân tích bằng cách tách, nhóm đưa về tổng các bình phương cộng với một số và đánh giá. Tuy nhiên ngoài cách đó các bạn thử nghỉ cách khác xem, theo tôi với kinh nghiệm bản thân đúc rút được trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tôi xin mạnh dạn đưa ra cách giải và mạnh dạn sử dụng đen ta trong trường hợp này

Đặt B = x2 +2y2 -2xy +2x -10y +17

0 B = x2 -2x(y -1) +2y2 -10y +17 0 . Ta xem đây là một phương trình bậc hai ẩn x và y là tham số và tính đen ta

Ta có

\= (y – 1)2 – ( 2y2 – 10y + 17) = - ( y – 4 )2

Ta thấy

0 y và a = 1 > 0 nên B 0 . vậy bất đẳng thức được chứng minh dấu

“ = ” xẩy ra

y = 4 và x = 3. Trên đây là bài toán hai biến x; y còn ba biến thì sao? Chúng ta tiếp tục đi xét bài toán sau nhé

Bài 6.3. Chứng minh rằng với

x, y, z ta có:

19x2 + 54y2 + 16z2 + 36 xy – 16xz – 24 yz

0 (1)

Nếu chưa làm bài toán thứ hai thì đây là bài toán khó đối với học sinh vì nếu biến đổi để đưa về dạng các tổng bình phương cộng với một số thì rất là khó khăn vì ở đây không phải một ẩn, hai ẩn mà là ba ẩn nên việc biến đổi không dễ tí nào. Tuy nhiên nếu biết áp dụng đen ta và tương tự bài toán hai thì đây lại là bài toán đơn giản

Viết lại bài toán trên như sau 19x2 + 4x(9y-4z) + 54y2 + 16z2 -24yz

0

Và ta xem vế trái của bất đẳng thức là một tam thức bậc hai ẩn là x và ta có

’ = -702y2 + 168yz – 240z2 . Lại có ­(y) = (84z)2 – 702.240z2 0 z và từ đó 0 y,z

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu “ = ” xẩy ra

Tiếp tục đi xét việc sử dụng đen ta vào giải quyết các bài toán về chứng minh bất đẳng thức để ta thấy được cái hay của nó chúng ta tiếp tục đi xét thêm dạng toán sau nhé.

Bài 6.4. cho ba số a,b,c là ba cạnh của tam giác. Ba số x; y; z thỏa mãn

ax + by + cz = 0. Chứng minh xy + yz + xz < 0

đây cũng là một dạng toán chứng minh bất đẳng thức tuy nhiên nếu biết cách vận dụng đen ta vào đây thì bài toán trở nên không quá khó nữa.

Từ ax + by + cz = 0 và c > 0 nên

khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: xy - ( x+y ) 0 (1)

Do c > 0 nên (1)

ax2 + xy( a + b - c ) + by2 0

Xét tam thức f(x)= ax2 + xy( a + b – c ) + by2 có a > 0 và

\= y2( a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ac)

Mà với a,b,c là ba cạnh của một tam giác ta luôn có a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ac < 0 do đó

0. Do đó f(x) 0 với x và dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi

Tương tự chúng ta xét tiếp bài toán sau

Bài 6.5. cho a3 > 36 và abc = 1. Chứng minh

+ a2 + b2 > ab + bc + ac (1)

Từ a3 > 36

a > 0 . Từ abc =1

Khi đó (1)

Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 – ax -

Có

\= ( do a3 > 36) . Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Tương tự chúng ta đi xét bài toán sau.

Bài 6.6. cho a > 0 và n nguyên dương. Chứng minh

Để chứng minh bài này nếu các bạn biết vận dụng kĩ thuật sử dụng đen ta vào đây để giải thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Sau đây tôi mạnh dạn đưa ra cách vận dụng đen ta và dấu của tam thức bậc hai vào đây để giải

Đặt

(1) . Do a > 0 nên an > an-1 (2)

Mặt khác từ (1)

(3). Từ (2) và (3) hay

Xét tam thức f(x) = x2 – x – a < 0 có x1 < an < x2 . mà x1 \=

. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Tương tự các bài toán trên bây giờ chúng ta vận dụng điều kiện có nghiệm để chứng minh bất đẳng thức rất quen thuộc nhé

Bài 6.7. cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

(1)

( bất đẳng thức nesbitt)

Đây là bất đẳng thức rất quen thuộc mà có lẽ ai trong chúng ta cũng đều gặp và đả chứng minh. Tuy nhiên vấn đề mà tôi đưa ra ở đây muốn vận dụng kỹ thuật có nghiệm để chứng minh bất đẳng thức này một cách nhanh chóng

Đặt x =

; y = . Không mất tính tổng quát giả sử .Khi đó (1) với

Đặt A = x+y; B = xy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

hay

Vì 7A – 2 > 0 và A2 ≥ 4B nên bất đăng thức được phân tích và đưa về bất đẳng thức sau

(A – 2)2( A+2) ≥ 0 luôn đúng suy ra điều phải chứng minh.

Tương tự bài toán trên chúng ta đi xét bài toán sau

Bài 6.8. Cho a, b, c, > 0 và thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6 abc

Chứng minh:

Với kỹ thuật sử dụng đen ta các bạn có thể giải bài toán này được không và giải như thế nào. Sau khi dạy chuyên đề này cho học sinh, một học sinh tôi đả giải như sau

Từ

Đặt

( x, y, z > 0 )

Mà ta có : ( x+ y+ z )2 ≤ 3 ( x2 + y2 + z2 )

Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2

Đến đây việc giải bài toán này thì đơn giản rồi các bạn nhỉ?

Đặt t =

; t > 0 khi đó chuyển BĐT trên về tam thức bậc hai dạng

t2 +

dấu “ = ” xẩy ra

Như vậy với việc sử dụng đen ta vào giải toán ta thấy rất thú vị và càng nghiên cứu sâu lại thấy càng hay các bạn ạ. Chẳng hạn chúng ta tiếp tục xét bài toán sau nhé

Ngoài những bài toán liên quan đến bất đẳng thức nó còn có các bài toán liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu thức đấy. Ví dụ ta xét bài toán sau

Bài toán 6.9. Cho x >0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

Đối với bài toán này chúng ta để ý mối quan hệ giữa x và

và nếu gọi giá trị lớn nhất của biểu thức \= a (*)

Với a ≥ x > 0 thì (*) tương đương với

(**)

Vì a ≠ 0 nên (**) là phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm

Mà a > 0 nên a3 ≥ 64

. Trên đây là một số bài tập mà vận dụng kỹ thuật sử dụng đen ta vào để chứng minh bất đẳng thức tuy nhiên để vận dụng kỷ thuật sử dụng đen ta vào để giải các bài tập dạng này thì đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi tốt thì mới có thể vận dụng nhanh phương pháp này, vì thời gian có hạn. Sau đây tôi xin đưa ra một số bài tập về dạng này hy vọng rằng các em có thể giải và khắc sâu hơn về dạng toán

Bài tập 1. cho a,b,c,d,p,q thỏa mãn p2 +q2 –a2 – b2 – c2 – d2 > 0 (1)

Chứng minh ( p2 + a2 – b2)(q2 – c2 – d2) ≥ (pq – ac – bd )2

Bài 2.cho a,b,c tùy ý thuộc

và a + b + c =3. Chứng minh a2+b2+c2 ≤ 5 (*)

Bài 3. Cho a,b,c thỏa mãn

Chứng minh -4 ≤ a+b+c ≤ 4

Bài 4. Cho a, b ≠ 0 Chứng minh rằng

Hướng dẫn:

Đối với bài 2 rút a theo b và c sau đó thay vào (*) và xem phương trình bậc hai ẩn b hoặc c và chuyển về một vế sau đó sử dụng đen ta là giải quyết ngay được

Bài 3. từ phương trình thứ nhất các bạn đưa về dạng ( a+b + c)2 -2 ( ab+bc +ca) =2

Từ đó thay tích ab + bc + ca = 1 vào và giải bình thường là xong

Bài 4. xem bất đẳng thức cần chứng minh là tam thức bậc hai ẩn là b, và nó đạt giá trị nhỏ nhất khi b =

khi đó thay vào và sử dụng cosi là đưa về điều phải chứng minh

1. KẾT LUẬN

Qua việc tìm hiểu các dạng toán trên chúng ta cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo kết quả của các bài toán để chuyển bài toán sang một bài toán khác đây là một vấn đề rất khó không những đối với học sinh mà cũng là một vấn đề khó đối với giáo viên. Tuy nhiên nếu vận dụng tốt thì việc chuyển một bài toán dựa vào kết quả của bài toán đó thành bài toán khác cũng không phải là quá khó. Nếu làm được điều này sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học, góp phần phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới dựa trên kiến thức cũ, phát huy được khả năng tư duy của học sinh

Các bài toán, dạng toán mà tôi đưa ra trong đề tài còn có thể có những cách giải khác nữa tuy nhiên vấn đề mà chúng tôi đưa ra ở đây muốn các em học sinh hướng tới sử dụng điều kiện có nghệm của phương trình bậc hai vào để giải và có thể giải quyết bài toán một cách nhanh và đơn giản hơn, ngoài ra qua các bài tập này không những rèn được kĩ năng giải toán cho học sinh mà còn rèn cho học sinh cách nhìn và nhận xét bài toán để từ đó có hướng giải quyết bài toán một cách tối ưu nhất.

Trên đây là những kinh nghiệm của tôi tích luỹ được trong quá trình giảng dạy và giải toán. Có gì thiếu sót mong được sự góp ý của quý thầy cô. Tôi xin chân thành cảm ơn