Các phương pháp chứng minh tiếp tuyến
I . Phương pháp chứng minh :
Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) ta dùng các cách sau đây:
Cách 1 : Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ \[OH\bot d\], chứng minh \[OH=R\].
Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh \[OA\bot d\].
Trên đây là hai cách chủ yếu, ngoài ra còn có các cách sau.
Cách 3: Cách này dựa trên bài toán phụ sau:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia Ax thỏa \[\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\] (Ax cùng phía với tia AC đối với đường thẳng AB). Khi đó Ax là tia tiếp tuyến của (O).
Cách này thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách 3 trên là một ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít – một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo. Và phương pháp này cũng được dùng nhiều trong các bài toán chứng minh tiếp tuyến.
II . Bài toán ví dụ:
Bài toán 1:Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) . Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với (O) khi C thay đổi.
Giải:
Vẽ \[OH\bot d(H\in d)\]. Ta cần chứng minh OH = OC.
Ta có tam giác DMO cân tại D, suy ra \[\widehat{DMO}=\widehat{DOM}\]. Mà \[\widehat{HMO}=\widehat{DOM}\](So le trong).
Nên ta có \[\widehat{DMO}=\widehat{HMO}\].
Từ đó ta có \[\Delta CMO=\Delta HMO\], suy ra OH = OC. Vậy d là tiếp tuyến của (O).
Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm AI. Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O).
Giải
Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC.
Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác MFA cân tại M, suy ra \[\widehat{MFA}=\widehat{FAM}\].
Ta cũng có:
\[\widehat{CFO}=\widehat{OCF}\]
(Tam giác OCF cân tại O).
Từ đó: \[\widehat{MFA}+\widehat{CFO}=\widehat{FAM}+\widehat{OCF}=90{}^\circ \]. Suy ra \[\widehat{MFA}=90{}^\circ \] . Vậy \[FO\bot FM,F\in (O)\] nên MF là tiếp tuyến của (O).
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax ,By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho AC.BD = \[\frac{1}{4}.A{{B}^{2}}\] . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C. Đường tròn đường kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI.
Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M cắt (O) tại C và D, AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q, AB cắt PQ tại I. Chứng minh IC và ID là tiếp tuyến của (O).
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, A thuôc nửa đường tròn. Vẽ \[CH\bot AB(H\in AB)\]. M là trung điểm CH, BM cắt tiếp Ax của (O) tại P. Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh MN tiếp xúc với (O).
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC ( AB < AC), T là một điểm thuộc đoạn OC. Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại P, BH cắt (O) tại D. Chứng minh PD là tiếp tuyến của (O).
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Bài 8: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là hai tiếp tuyến ). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, AD cắt (O) tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.
Bài viết gợi ý:
Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,102,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,267,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,216,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,190,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,355,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,65,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,290,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,7,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,9,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,134,Toán 11,174,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,37,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng: DẠNG 2. VIẾT PTTT KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC HOẶC SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG PHÁP: Gọi M (x + y)(C) là tiếp điểm. Ta có k = g(x) = a, giải phương trình y(x) = a = xy. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Cho hàm số y, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến A với (C) biết hệ số góc k = 1. Lời giải. Tập xác định D = IR. Gọi M (x – y) là tiếp điểm y(x) = k. Phương trình tiếp tuyến tại M là A: y = 1(x – 1). Phương trình tiếp tuyến tại M là A: y = 1(x + 2) + 2 + y = x + 4.
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến (A) của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với d): y = 3x – 2. Lời giải Gọi M là tọa độ tiếp điểm của (A) với (C). Ta có y = 2x – 3. Phương trình tiếp tuyến (A) tại điểm M là (A): y = 3(x – 3) + 2 = 3x – 7. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến A của đồ thị (C), biết A vuông góc với (d): 5y = -x + 300. Hệ số góc của đường thẳng (d) là k = 1. Ta có y = 2x – 1. Gọi M (x + y) là tiếp điểm của tiếp tuyến A.