Bảng giá trị cho các phép toán book

Ngoài việc định nghĩa cấu trúc cơ sở dữ liệu và các ràng buộc, một mô hình dữ liệu phải chứa một tập hợp phép toán để thao tác dữ liệu. Tập hợp cơ sở các phép toán mô hình quan hệ tạo nên đại số quan hệ. Các phép toán này giúp cho người sử dụng xác định rõ các yêu cầu lấy tin cơ bản. Kết quả của một phép lấy tin là một quan hệ mới, có thể được tạo ra từ một hoặc nhiều quan hệ. Các quan hệ đó có thể được thao tác tiếp theo bằng cách sử dụng các phép toán của cùng đại số. Một dãy các phép toán quan hệ tạo nên một biểu thức đại số quan hệ mà kết quả của nó cũng là một quan hệ.

Các phép toán đại số quan hệ được chia thành hai nhóm. Một nhóm bao gồm các phép toán tập hợp lấy từ lý thuyết tập hợp toán học. Các phép toán đó là phép hợp, phép giao, phép trừ tập hợp và phép tích Đề các. Nhóm kia bao gồm các phép toán được xây dựng đặc biệt cho các cơ sở dữ liệu quan hệ. Các phép toán đó là phép chọn, phép chiếu, phép nối và một số các phép toán khác.

Phép chọn (SELECT)

Phép chọn được sử dụng để chọn một tập hợp các bộ thoả mãn điều kiện chọn từ một quan hệ. Ta có thể xem phép chọn như một bộ lọc, nó chỉ giữ lại các bộ thoả mãn điều kiện đặt ra.

Phép chọn được ký hiệu là

σ< điều kiện chọn>( R)

trong đó ký hiệu σ được dùng để ký hiêu phép chọn, còn điều kiện chọn là một biểu thức lôgic được chỉ ra trên các thuộc tính của R. Chú ý rằng R nói chung là một biểu thức đại số quan hệ. Kết quả của một biểu thức đại số quan hệ là một quan hệ. Biểu thức đơn giản nhất chính là tên của một quan hệ của một cơ sở dữ liệu. Quan hệ kết quả của phép chọn có cùng thuộc tính như R. Ví dụ, để chọn các bộ NHÂNVIÊN thuộc về đơn vị có mã số là 4 hoặc các bộ NHÂNVIÊN có lương lớn hơn 3000 ta có thể viết một cách riêng rẽ như sau:

σ< Mãsố = 4>( NHÂNVIÊN)

σ< Lương > 3000>( NHÂNVIÊN)

Biểu thức logic chỉ ra trong <điều kiện chọn> được tạo nên từ một số hạng mục có dạng :

<tên thuộc tính> <phép so sánh> <giá trị hằng>

hoặc <tên thuộc tính> <phép so sánh> <tên thuộc tính>

trong đó <tên thuộc tính> là tên của một thuộc tính trong R, <phép so sánh> là một trong các phép toán so sánh {<, <=, =, >=, >, ≠} còn <giá trị hằng> là một giá trị hằng từ miền giá trị của thuộc tính. Các hạng mục có thể được nối với nhau bằng các phép toán lô gic AND, OR, NOT để tạo ra một điều kiện chọn chung. Ví dụ, để chọn ra các nhân viên làm việc ở đơn vị có mã số là 4 và có lương lớn hơn 3000 hoặc các nhân viên làm việc ở đơn vị có mã số là 5 và có lương lớn hơn 4000 ta có thể viết phép chọn như sau:

σ< MãsốĐV = 4>AND <lương>3000>OR< MãsốĐV = 5>AND <lương>3500>( NHÂNVIÊN)

Kết quả chỉ ra ở hình dưới

Kết quả phép chọn

Chú ý rằng các phép toán so sánh trong tập hợp {<, <=, =, >=, >, ≠} áp dụng cho các thuộc tính có miền giá trị là các giá trị có thứ tự như là miền giá trị số. Miền giá trị các dãy ký tự được xem như có thứ tự dựa trên việc so sánh các dãy ký tự. Nếu miền giá trị của một thuộc tính là một tập hợp các giá trị không có thứ tự thì chỉ có các phép so sánh trong tập hợp { =, ≠ } là có thể áp dụng được. Ngoài ra, có thể còn các phép so sánh bổ sung, chẳng hạn như “ là một dãy con của...” hoặc “trong khoảng từ... đến...”.

Kết quả một phép chọn được xác định như sau: <Điều kiện chọn> được áp dụng cho mỗi bộ t trong R một cách độc lập. Điều đó được thực hiện bằng cách thay thế mỗi thuộc tính Ai trong điều kiện chon bằng giá trị t[Ai] của nó trong bộ. Nếu điều kiện chọn cho giá trị đúng thì bộ t sẽ được chọn. Tất cả các bộ được chọn xuất hiện trong kết quả của phép chọn. Các phép toán logic AND, OR, NOT được thực hiện theo quy tắc bình thường của chúng.

Phép chọn là phép toán một ngôi, nghĩa là nó được áp dụng cho một quan hệ. Hơn nữa, phép chọn được áp dụng cho từng bộ một cách độc lập, vì vậy, các điều kiện chọn không thể liên quan đến nhiều bộ. Quan hệ kết quả của phép chọn có cấp giống như cấp của R. Số các bộ trong quan hệ kết quả luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng số các bộ trong R.

Phép chọn là một phép toán có tính chất giao hoán, nghĩa là

σ < Điều kiện 1> (σ< Điều kiện 2>( R)) = σ< Điều kiện 2> (σ< Điều kiện 1>( R))

Hơn nữa ta có thể kết hợp một loạt các phép chọn thành một phép chọn đơn giản bằng cách sử dụng phép toán AND. Ví dụ:

σ< Điều kiện 1> (σ< Điều kiện 2>( R)) = σ< Điều kiện 2>AND< Điều kiện 1>( R)

Phép chiếu (PROJECT)

Số các bộ trong quan hệ kết quả từ một phép chiếu luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng số các bộ trong R. Nếu danh sách chiếu là một siêu khoá của R (nghĩa là nó chứa một khoá nào đó của R) thì quan hệ kết quả có cùng một số bộ như R. Ngoài ra, nếu <danh sách 2> chứa tất cả các thuộc tính có trong <danh sách 1> thì

π< danh sách1>(π< danh sách2> ( R)) = π< danh sách 1> ( R)

Phép chiếu không có tính giao hoán.

Phép đặt lại tên (RENAME)

Chúng ta có thể áp dụng nhiều phép toán quan hệ liên tiếp nhau. Trong trường hợp đó hoặc chúng ta có thể viết các phép toán như là một biểu thức đại số quan hệ đơn bằng cách xếp lồng các phép toán lại với nhau, hoặc chúng ta có thể áp dụng mỗi phép toán tại một thời điểm và tạo ra các quan hệ kết quả trung gian. Trong trường hợp tạo các quan hệ trung gian, ta phải đặt tên cho quan hệ đó. Ví dụ: Để đưa ra Họtên và Lương của các Nhânviên làm việc ở đơn vị có Mãsố là 4 chúng ta phải áp dụng một phép chọn và một phép chiếu. Chúng ta có thể viết một biểu thức đại số quan hệ đơn như sau :

π< Họtên, Lương >(σ <Mãsố = 4> (NHÂNVIÊN))

Một cách khác, chúng ta có thể tạo ra kết quả trung gian và viết biểu thức trên thành dãy các phép toán như sau:

KQTG  σ <Mãsố = 4>(NHÂNVIÊN)

Ketqua  π < Họtên, Lương >(KQTG)

Thông thường việc phân tích một dãy phức tạp các phép toán bằng cách chỉ ra các quan hệ kết quả trung gian là dễ hơn việc viết một biểu thức đại số quan hệ đơn. Chúng ta có thể dùng kỹ thuật này để đặt lại tên (rename) cho các thuộc tính trong các quan hệ trung gian và kết quả. Để đặt lại tên cho các thuộc tính của một quan hệ, chúng ta liệt kê các tên mới của các thuộc tính trong cặp dấu ngoặc. Ví dụ:

R(Họvàtên, Lương)  π< Họtên , Lương >( KQTG)

Cho kết quả là quan hệ R, trong đó thuộc tính Họtên được đặt lại tên thành Họvàtên.

Nếu không có việc đặt lại tên thì tên của các thuộc tính trong quan hệ kết quả của một phép chọn là giống như các tên trong quan hệ ban đầu và có cùng một thứ tự như thứ tự của các thuộc tính đó. Đối với phép chiếu, nếu không có việc đặt lại tên thì quan hệ kết quả có các tên thuộc tính giống như các tên trong danh sách chiếu và có cùng thứ tự như chúng xuất hiện trong danh sách.

Chúng ta có thể định nghĩa một phép toán đặt lại tên , nó có thể đặt lại tên cho một tên quan hệ hoặc các tên thuộc tính hoặc cả hai. Phép đặt lại tên được ký hiệu là:

ρS(B1,B2,..)(R) hoặc ρS(R) hoặc ρ(B1,B2,..)(R)

trong đó ký hiệu ρ được dùng để ký hiệu phép toán đặt lại tên, S là tên quan hệ mới, B 1 ,B 2 ,... Bn là các tên thuộc tính mới. Biểu thức thứ nhất đặt lại tên quan hệ và các thuộc tính của nó. Nếu các thuộc tính của R là A 1 ,A 2 , .. thì sau khi đặt lại tên, quan hệ có tên mới là S còn các thuộc tính có tên mới là B 1 , B 2 , ..., Bn. Biểu thức thứ hai chỉ đặt lại tên quan hệ, nghĩa là sau phép đặt lại tên, quan hệ có tên mới là S, còn các thuộc tính vẫn mang tên cũ. Biểu thức thứ ba chỉ đặt lại tên các thuộc tính, nếu các thuộc tính của R là A 1 ,A 2 , .. thì sau khi đặt lại tên chúng có tên là B 1 , B 2 , ...

Các phép toán lý thuyết tập hợp

Nhóm tiếp theo của các phép toán đại số quan hệ là các phép toán toán học thông thường trên các tập hợp. Đó là các phép toán hợp, giao và trừ tập hợp. Các phép toán này là các phép toán hai ngôi, nghĩa là mỗi phép toán được áp dụng cho hai tập hợp. Khi áp dụng các phép toán này cho cơ sở dữ liệu quan hệ, hai quan hệ tham gia vào một trong các phép toán trên phải có kiểu của các bộ như nhau, hay nói cách khác, chúng phải có cùng một cấu trúc. Điều kiện này được gọi là tương thích đồng nhất. Hai quan hệ R(A 1 ,A 2 ,..., An) và S(B 1 , B 2 , ...,Bn) được gọi là tương thích đồng nhất nếu chúng có cùng cấp n và dom(Ai) = dom(Bi) với 1<= i <= n. Điều đó có nghĩa là hai quan hệ có cùng số các thuộc tính và mỗi cặp thuộc tính tương ứng có cùng miền giá trị.

Các phép toán được định nghĩa như sau:

. Phép hợp: Hợp của hai quan hệ R và S, được ký hiệu là R  S, cho kết quả là một quan hệ chứa tất cả các bộ có trong R hoặc ở trong S hoặc ở trong cả hai. Các bộ trùng lặp bị loại bỏ.

. Phép giao: Giao của hai quan hệ R và S , được ký hiệu là R  S , cho kết quả là một quan hệ chứa tất các các bộ có trong cả hai quan hệ R và S.

. Phép trừ quan hệ: Phép trừ quan hệ R và S , được ký hiệu là R - S, cho kết quả là một quan hệ chứa tất cả các bộ có trong R nhưng không có trong S.

Ví dụ, xét hai quan hệ:

Ngoài các phép toán trên, còn có một phép toán gọi là tích Đề các. Tích Đề các còn gọi là tích hỗn hợp (cross product) hoặc là nối hỗn hợp (cross join), được ký hiệu là ×. Đó cùng là một phép toán hai ngôi nhưng những quan hệ mà nó áp dụng trên đó không phải là tương thích đồng nhất. Phép toán này được sử dụng để nối các bộ của hai quan hệ vào một kiểu kết hợp. Kết quả của

R(A 1 , A 2 , .. , An)× S(B 1 , B 2 , ...,Bm)

là một quan hệ Q với n+m thuộc tính Q(A 1 , A 2 ,..., An, B 1 , B 2 ,...,Bm). Quan hệ kết quả Q có các bộ được tạo thành do sự kết hợp một bộ của R và một bộ của S. Ví dụ, xét hai quan hệ R và S như sau:

Hình 6-4. Tích Đề các của hai quan hệ R và S.

Như vậy, nếu R có nR bộ và S có nS bộ thì R× S có nR*nS bộ. Phép toán này nếu áp dụng một mình thì không có ý nghĩa mấy. Nó chỉ có lợi khi tiếp theo bằng một phép chọn các giá trị tương thích của các thuộc tính xuất phát từ các quan hệ thành phần. Tích Đềcác kết hợp với một phép chọn cho ta một phép nối.

Phép nối (JOIN)

Phép nối được ký hiệu là và được dùng để kết hợp các bộ có liên hệ với nhau từ hai quan hệ thành một bộ. Phép toán này rất quan trọng đối với cơ sở dữ liệu quan hệ có nhiều bảng bởi

vì nó cho phép ta xử lý các mối liên kết giữa các quan hệ. Dạng tổng quát của phép nối trên hai quan hệ R(A 1 , A 2 ,...,An) và S(B 1 ,B 2 ,..., Bm) là

R S

< Điều kiện nối>

Kết quả của phép nối là một quan hệ Q(A 1 ,A 2 ,...,An, B 1 ,B 2 ,...,Bm) có n+m thuộc tính. Mỗi bộ của Q là một sự kết nối giữa một bộ của R và một bộ của S khi chúng thoả mãn điều kiện nối. Sự khác nhau giữa tích Đề các và phép nối là ở chỗ trong phép nối, chỉ có các bộ thoả mãn điều kiện nối mới xuất hiện trong kết quả, trong khi đó trong tích Đề các mọi tổ hợp của các bộ đều có trong kết quả. Điều kiện nối được chỉ ra trên các thuộc tính của hai quan hệ R và S và được tính toán cho mỗi tổ hợp các bộ. Mọi tổ hợp bộ mà điều kiện nối là đúng được chứa trong quan hệ kết quả Q như là một bộ đơn. Một điều kiện nối tổng quát có dạng

<điều kiện> AND <điều kiện> AND ... AND <điều kiện>

trong đó mỗi điều kiện có dạng Ai θ Bj, Ai là một thuộc tính của R, Bj là một thuộc tính của S, Ai và Bj có cùng miền và θ là một trong các dấu phép toán so sánh {<, <=, =, >=, >, ≠}. Một phép toán nối với điều kiện tổng quát như vậy gọi là một phép nối tê-ta. Các bộ có các thuộc tính nối là null không xuất hiện trong kết quả. Theo nghĩa đó, phép toán không nhất thiết phải xử lý mọi thông tin trong các quan hệ tham gia. Ví dụ :

Giả sử ta có hai quan hệ R và S như sau:

Khi đó kết quả của phép nối tê-ta R và S với điều kiện A3 = B1 sẽ cho kết quả là:

Nếu các thuộc tính mà trên đó nối tự nhiên được chỉ ra có tên như nhau thì việc đặt lại tên là không cần thiết.

Chú ý rằng nếu không có một tổ hợp các bộ nào thoả mãn điều kiện nối thì kết quả của một phép nối là một quan hệ rỗng không chứa bộ nào. Nói chung, nếu R có nR bộ và S có nS bộ thì kết quả của phép nối R với S sẽ có số các bộ lớn hơn 0 và nhỏ hơn nR. Cỡ của một kết quả nối chia cho cỡ cực đại nR tạo nên một tỷ lệ gọi là chọn lựa nối , đó là một tính chất của mỗi điều kiện nối. Nếu không có điều kiện nối, mọi tổ hợp các bộ sẽ được chọn và phép nối trở thành một tích Đề các.

Phép nối được sử dụng để kết hợp các dữ liệu từ nhiều quan hệ sao cho các thông tin có liên hệ với nhau có thể được biểu diễn trong một bảng. Đôi khi phép nối được áp dụng nối một bảng với chính nó. Chúng ta có thể áp dụng phép nối tự nhiên và nối bằng để nối nhiều bảng với nhau. Nếu ta nối n bảng với nhau thì phải chỉ ra n-1 điều kiện nối.

Tập hợp đầy đủ các phép toán quan hệ

Người ta đã chỉ rằng tập hợp các phép toán đại số quan hệ {σ, π, , －, ×} là một tập đầy đủ, nghĩa là mọi phép toán đại số quan hệ khác có thể được biểu diễn thông qua các phép toán của tập hợp này. Ví dụ, phép giao có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các phép hợp và trừ tập hợp như sau:

R  S = (R  S) － ((R- S)  (S － R))

Như vậy, nói một cách chính xác là không cần phải có phép giao. Mỗi khi cần thực hiện một phép giao, ta chỉ cần đưa ra biểu thức phức tạp này là đủ.

Một ví dụ khác, một phép nối có thể được chỉ ra như một tích Đề các và sau đó là một phép chọn:

R S = σ < Đièu kiện chọn> (R × S)

< Điều kiện nối>

Một cách tương tự, ta có thể thay thế phép nối tự nhiên bằng một tích Đề các đi sau một phép đặt lại tên và sau đó là các phép toán chọn và chiếu. Như vậy các phép toán nối cũng không cần thiết. Tuy nhiên các phép toán đó rất quan trọng bởi vì chúng tiện dùng và rất thường xuyên được áp dụng trong các cơ sở dữ liệu. Các phép toán đó được đưa vào trong đại số quan hệ là do tiện dụng hơn là do cần thiết. Một phép toán khác cũng được đưa vào, đó là phép chia.

Phép chia

Phép chia có lợi cho một loại truy vấn đặc biệt đôi khi có các ứng dụng trong cơ sở dữ liệu. Phép chia được áp dụng cho hai quan hệ R(Z) và S(X) và được ký hiệu là R(Z)  S(X), trong đó X ⊂ Z. Giả sử Y = Z - X (như vậy Z = X  Y). Kết quả của phép chia là quan hệ T(Y) chứa một bộ t nếu các bộ tR xuất hiện trong R với tR[Y] = t và với tR[X] = tS với mọi bộ tS

trong S. Điều đó có nghĩa là để một bộ t xuất hiện trong kết quả T của phép chia, các giá trị trong t phải xuất hiện trong R trong sự kết nối với mọi bộ của S.

Ví dụ: Xét phép chia quan hệ R(A,B) cho quan hệ S(A) như hình vẽ dưới đây. Ta thấy chỉ có các thuộc tính B1 và B4 là kết nối với tất cả các bộ của S ở trong R. Vì vậy kết quả nhận được là một quan hệ T(B) với hai giá trị của B là B1 và B4.

Phép chia có thế được biểu diễn thông qua các phép toán π, ×, － như sau:

T 1 πY( R ) ; T 2  πY((S × T 1 ) － R ) ; T  T 1 － T 2

Hình 6-7. Phép chia T(B) = R(A,B)  S(B).

Nếu không chỉ ra thuộc tính nhóm thì các hàm được áp dụng cho các giá trị thuộc tính của tất cả các bộ trong quan hệ, vì vậy quan hệ kết quả chỉ có một bộ. Cần chú ý rằng, nói chung, các trùng lặp không được loại bỏ khi hàm nhóm được áp dụng. Kết quả của việc áp dụng một hàm nhóm là một quan hệ chứ không phải là một đại lượng vô hướng, thậm chí nếu nó chỉ có một giá trị.

Các phép toán khép kín đệ quy

Một kiểu phép toán khác, nói chung, không chỉ ra được trong các phép toán đại số quan hệ cơ sở là phép toán khép kín đệ quy. Phép toán này được áp dụng cho mối liên kết đệ quy giữa các bộ cùng kiểuới các phép toán này chúng ta phải sử dụng kỹ thuật lặp.

Các phép toán nối ngoài (outer join), hợp ngoài (outer union)

Trong phần này chúng ta thảo luận một vài mở rộng của phép toán nối và hợp. Các phép toán nối mô tả ở trên liên kết các bộ thoả mãn điều kiện nối. Như vậy, các bộ không có bộ liên kết sẽ bị loại khỏi kết quả nối. Các bộ với giá trị null trong các thuộc tính nối cũng bị loại. Một tập hợp các phép toán gọi là nối ngoài có thể được sử dụng khi chúng ta muốn giữ các bộ trong R hoặc S hoặc trong cả hai quan hệ trong kết quả của phép nối dù chúng có những bộ liên kết trong quan hệ kia hay không. Có ba phép nối ngoài gọi là nối ngoài trái (left outer join), nối ngoài phải (right outer join) và nối ngoài đầy đủ (full outer join), được ký hiệu tương ứng là:

Phép nối ngoài trái giữ lại mọi bộ trong quan hệ bên trái R trong phép nối. Nếu không có bộ liên kết nào được tìm thấy trong S thì các thuộc tính của S trong kết quả phép nối được “làm đầy” bằng các giá trị null.

Tương tự như vậy đối với các phép nối ngoài phải và các phép nối ngoài đầy đủ.

Phép toán hợp ngoài được mở rộng để lấy hợp của các bộ từ các quan hệ nếu các bộ không tương thích đồng nhất. Phép toán này chỉ lấy hợp của các quan hệ mà chúng chỉ tương thích bộ phận, nghĩa là chỉ một vài thuộc tính của chúng là tương thích phép hợp. Điều phải tôn trọng là danh sách các thuộc tính tương thích phải chứa một khoá cho cả hai quan hệ. Các bộ từ các quan hệ thành phần với cùng một khoá chỉ được biểu diễn một lần trong kết quả và có giá trị cho tất cả các thuộc tính trong kết quả. Các thuộc tính không tương thích phép hợp từ bất kỳ quan hệ nào cũng được giữ trong kết quả và các bộ không có giá trị cho các thuộc tính này cũng được lấp đầy bằng những giá trị null.

Một số ví dụ về truy vấn trong đại số quan

hệ

Trong phần này, chúng ta xét một số ví dụ minh họa việc sử dụng các phép toán đại số quan hệ. Các ví dụ ở đây thực hiện trên cơ sở dữ liệu “CÔNG TY” ở mục II chương III. Nói chung, một truy vấn có thể được thực hiện bằng nhiều cách, sử dụng các phép toán khác nhau. Trong các ví dụ sau, chúng ta xét một cách thực hiện, các bạn đọc có thể tự đưa ra các cách thực hiện khác.

Truy vấn 1: Đưa ra Họ đệm, Tên và địa chỉ của tất cả các nhân viên làm việc cho đơn vị có tên là “Nghiên cứu”: (Các quan hệ TG1, TG2 là các kết quả trung gian)

TG1  σ TênĐV = “Nghiêncứu” (ĐƠNVỊ)

TG2  (TG1  NHÂNVIÊN)

KETQUA  π Họđệm, Tên, Địachỉ (TG2)

Theo cách thực hiện này, quan hệ TG1 chứa thông tin về đơn vị có tên “Nghiên cứu”, quan hệ TG2 chứa thông tin về các nhân viên làm việc cho đơn vị “Nghiên cứu” và quan hệ KẾTQUẢ chứa các thông tin theo yêu cầu của truy vấn. Trong các bảng của chúng ta, các thuộc tính nối có tên như nhau nên có thể dùng phép nối tự nhiên.

Truy vấn 2: Với mỗi dự án đặt tại Hà nội, hãy liệt kê MãsốDA, TênĐV, Tên, Địachỉ, Ngàysinh của người quản lý đơn vị.

TG1  σDiadiemDA=”Hanoi”(DỰÁN)

TG2  (TG1  ĐƠNVỊ)

TG3  (TG2 * NHÂNVIÊN)

KẾTQUẢ  π MãsốDA, MãsốĐV, Họđệm,Địachỉ, Ngàysinh (TG3)

Truyvấn 3: Hãy tìm tên của các nhân viên làm việc trên tất cả các dự án do đơn vị có mã số = 5 kiểm soát.