####### Chương 1
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂMTÓM TẮT LÝ THUYẾT
####### 1. Phương trình chuyển động của chất điểm
r r t hoặc x x t ; y y t ; z z t
####### 2. Vận tốc
- Véc tơ vận tốc của chất điểm trong toạ độ Descartes:
####### dr dx dy dz
####### v i j k
####### dt dt dt dt
#######
- Vận tốc trong toạ độ cong: t 0
####### s ds
####### v lim
####### t dt
#######
#######
#######
####### 3. Gia tốc
- Véc tơ gia tốc trong toạ độ Descartes: 2 2 2 2 2 2 2 2
####### dv d r d x d y d z
####### a i j k
####### dt dt dt dt dt
#######
- Véc tơ gia tốc trong toạ độ cong: t n
####### dv
####### a a a
####### dt
#######
####### trong đó t
####### dv
####### a
####### dt
####### là gia tốc tiếp tuyến,
2 n
####### v
####### a
####### R
####### là gia tốc pháp
####### tuyến, R là bán kính cong của quỹ đạo.
####### 4. Chuyển động tròn
- Vận tốc góc:
####### d
####### dt
#######
####### ; v R
- Gia tốc góc: 2 2
####### d d
####### dt dt
#######
####### ; a t R
####### 5. Tổng hợp vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến
- Tổng hợp vận tốc: v 13 v 12 v 23
- Tổng hợp gia tốc:a 13 a 12 a 23 BÀI TẬP VÍ DỤ
####### Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động được mô tả bởi các phương
####### trình sau:
2
####### x 2t (1)
####### y 4t 4 (2)
#######
#######
#######
####### x, y tính bằng mét, t tính bằng giây.
####### a. Tìm quỹ đạo chuyển động của chất điểm.
####### b. Tìm vận tốc của chất điểm khi t 2s.
####### Lời giải:
####### a. Từ (1) rút ra
####### x
####### t
####### 2
####### , thay vào (2) có: y x 2 4
- Quỹ đạo của chất điểm là một nhánh parabol (x 0 ).
####### b. Vận tốc tại t 2 s
' x t ' y t
####### v x 2
####### v y 8t
#######
#######
#######
2 2 2
####### v v x v y 4 64t
- Thay t 2 s ta được: v 4 64 2 16,12 m / s.
####### Ví dụ 2. Từ điểm O trên mặt đất một chất điểm được ném lên với
####### vận tốc ban đầu v 0 hợp với phương ngang một góc α.
####### a. Tìm phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo.
####### b. Tìm bán kính cong của quỹ đạo tại O và tại điểm cao nhất của
####### quỹ đạo.
####### Lời giải
####### a. Phương trình chuyển động:
0 2 0
####### x v cos t (1)
####### 1
####### y v sin t gt (2)
####### 2
#######
#######
#######
#######
#######
- Rút t từ (1) thay vào (2) ta được phương trình quỹ đạo:
####### phía Đông với vận tốc không đổi vA ; B chạy về phía Bắc với vận
####### tốc không đổi v B. Độ cong của mặt đất không đáng kể.
####### a. Xác định khoảng cách cực tiểu giữa A và B.
####### b. B phải chạy theo hướng nào, sau thời gian bao lâu thì sẽ gặp A.
####### 1 Cho phương trình chuyển động của một chất điểm:
2 0 2 0 2 0
####### x x at
####### y y bt
####### z z ct
#######
#######
#######
#######
#######
####### (với a, b, c là các hằng số)
####### a. Tìm phương trình quỹ đạo và dạng quỹ đạo của chất điểm.
####### b. Tính quãng đường chất điểm đi được kể từ thời điểm ban đầu
####### đến thời điểm t.
####### c. Xác định vận tốc và gia tốc của chất điểm ở thời điểm t.
####### 1 Một ôtô đang chạy trên đường thẳng với vận tốc
####### v 1 50 km / h. Một người đứng ở A
####### cách đường ấy một khoảng
####### AH h 100 mthì nhìn thấy ôtô vừa
####### đến B cách mình một khoảng
####### AB 500m thì người ấy bắt đầu
####### chạy ra đường để đón ôtô.
####### a. Người ấy phải chạy theo hướng nào để có thể gặp được ôtô, nếu
####### người đó chạy với vận tốc v 2 20 / 3 km / h.
####### b. Muốn gặp được ôtô người ấy phải chạy ra đường với vận tốc
####### nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Theo hướng nào?
####### 1 Một người chèo thuyền qua sông từ
####### điểm A. Vận tốc của nước đối với bờ là
####### v 2 , vận tốc của thuyền đối với nước là v 1.
####### Nếu hướng mũi thuyền tới B thì sau thời
####### gian t 1 10 phút thuyền tới C về phía hạ
####### lưu cách B một đoạn BC s 120 m.
B H A v 1 A B C D
####### Nếu hướng mũi thuyền về phía thượng lưu lệch một góc α so với
####### AB thì sau thời gian t 2 12,5phút thuyền tới B.
####### a. Tính vận tốc v 1 , v 2 và chiều rộng của con sông.
####### b. Xác định góc lệch .
####### 1 Một người đứng ở điểm A trên
####### ruộng cách đường (d) một khoảng
####### AH a 1km cần đi tới điểm B trên
####### đường, cách H một khoảng
####### BH b 3km. Vận tốc đi trên ruộng
####### là v 1 3km / h, trên đường cái là v 2 6 km / h. Hỏi phải đi theo
####### quỹ đạo nào thì thời gian tới B là ngắn nhất, tính thời gian ấy.
####### 1 Một máy bay bay từ vị trí A tới vị trí B, AB nằm theo hướng
####### Tây Đông và cách nhau một khoảng s 300km. Xác định thời
####### gian bay nếu:
####### a. Không có gió.
####### b. Có gió thổi theo hướng Nam Bắc.
####### c. Có gió thổi theo hướng Tây Đông.
####### Cho biết vận tốc của gió v 1 20 m / s và vận tốc của máy bay đối
####### với không khí là v 2 600 km / h.
####### 1 Một vật chuyển động nhanh dần đều trên hai đoạn đường liên
####### tiếp bằng nhau và bằng 100m lần lượt trong 5s và 3,5s. Tính gia tốc
####### của vật.
####### 1 Một người đứng ở sân ga nhìn thấy một đoàn tầu đang bắt
####### đầu chuyển bánh, biết toa thứ nhất chạy ngang qua trước mặt người
####### đó trong 6 giây. Coi chuyển động của đoàn tầu là nhanh dần đều.
####### Hỏi toa thứ n qua trước mặt người quan sát trong bao lâu? Áp dụng
####### với n 7.
####### 1 Một đoàn tàu chuyển động thẳng chậm dần đều tiến vào sân
####### ga. Một người quan sát đứng cạnh đường tàu thấy toa thứ nhất chạy
####### ngang qua trước mặt mình trong 4 giây, toa thứ hai qua trong 5
A H (d) B
####### trước nhất. Bỏ qua ma sát và sức cản không khí.
####### 1 Từ máy bay đang bay ngang với vận tốc 720 km/h người ta
####### thả một vật. Tìm bán kính cong của quỹ đạo sau khi vật chuyển
####### động được 5s. Bỏ qua sức cản của không khí.
####### 1 Từ một đỉnh tháp cao H 25m người ta ném một hòn đá
####### theo phương ngang với vận tốc ban đầuv 0 15m / s. Tìm:
####### a. Quỹ đạo của hòn đá.
####### b. Thời gian chuyển động của hòn đá.
####### c. Khoảng cách từ chân tháp đến điểm hòn đá chạm đất.
####### d. Vận tốc, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của hòn đá khi
####### chạm đất.
####### e. Bán kính cong của quỹ đạo tại điểm bắt đầu ném và điểm chạm
####### đất. Bỏ qua sức cản không khí lấy g 10 m / s 2.
####### 1 Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu
####### v 0 200 m / shợp với phương ngang một góc
0
####### 30. Tìm:
####### a. Độ cao cực đại và tầm xa mà viên đạn đạt được.
####### b. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của viên đạn sau lúc
####### bắn 1 giây.
####### c. Với góc bắn bằng bao nhiêu để: tầm xa của đạn là cực đại;
####### độ cao cực đại và tầm xa của đạn bằng nhau.
####### 1 Hai viên đạn được bắn lên lần lượt bởi một súng đại bác với
####### vận tốc v 0 250 m / s. Viên đạn thứ nhất bắn dưới góc 1 600 ,
####### viên thứ hai bắn dưới góc
0
####### 2 45 (trong cùng một mặt phẳng
####### thẳng đứng). Bỏ qua sức cản không khí, lấy
2
####### g 10 m / s. Hãy xác
####### định khoảng thời gian giữa hai lần bắn để cho hai viên đạn gặp
####### nhau.
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ
####### 1 Bài toán hai tàu thuỷ chạy trên cùng kinh tuyến
####### a. Khoảng cách cực tiểu:
2 A min 0 2 A B
####### v
####### d d
####### v v
#######
#######
####### b. Tàu B phải chạy theo hướng chếch về phía Đông một góc so
####### với đường kinh tuyến với: A
B
####### v
####### sin
####### v
#######
- Tàu B đuổi kịp tàu A sau thời gian: 0 2 2 B A
####### d
####### t
####### v v
#######
#######
####### 1 Chất điểm chuyển động trong hệ toạ độ Descartes
####### a. Khử t trong phương trình chuyển động
####### t 2 x x 0 y y 0 z z 0
####### a b c
#######
#######
- Thu được phương trình quỹ đạo: 0 0 0
####### x x y y z z
####### a b c
#######
#######
- Quỹ đạo là đường thẳng qua điểmM 0 x , y , z 0 0 0 và có véc tơ chỉ
phương u a, b, c .
####### b. Tại t 0 0, v 0 0. Quãng đường chất điểm đã đi được đến t:
2 2 2 2 2 2
####### s x x 0 y y 0 z z 0 a b c .t
####### c. Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t
2 2 2
####### v dx dy dz 2 a 2 b 2 c .t 2
####### dt dt dt
#######
#######
#######
- Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
####### d x d y d z
####### a 2 a b c
####### dt dt dt
#######
#######
#######
- Ta thấy gia tốc của chất điểm là một hằng số, vậy chuyển động
####### của chất điểm là một chuyển động thẳng nhanh dần đều.
####### 1 Người đi bộ đón ôtô
####### a. Xe (1), người (2), đất (3)
B H A
####### v 13 C
####### v 13
v 21
####### v 23
####### v ' v 1 v 2
- Do ADB APQ nên ta có: 2 1 2
####### AB AD BD
####### t
####### v v v
#######
#######
2 2
####### AB v .t 2 v 1 v .t 2 2 (3)
- Từ (2) và (3) có: 2 2 1 1 2 2 1
####### 1
####### v t v v t v m / s 1, 2 km / h
####### 3
#######
- Ta có AB v t 1 1 200 m
####### b. Xác định góc
2 0 1
####### v
####### sin 0, 6 arcsin 0, 6 36 52'
####### v
#######
####### 1 Xác định quỹ đạo có thời gian đi ngắn nhất
- Quỹ đạo có thời gian tới B ngắn nhất
####### gồm 2 đoạn đường AC và CB với
####### x HC. Muốn tìm tmin thì phải chọn x
####### thích hợp.
- Thời gian đi: 2 2 2 1 2
####### a x b x 2 1 x x 3
####### t
####### v v 6
#######
#######
- Lấy đạo hàm của t theo x và cho đạo hàm này triệt tiêu 2 2 0
####### dt 1 2x 1 x 1
####### 0 x 0,58 km HC
####### dx 6 1 x 3
#######
#######
#######
- Thời gian đi t 0 0, 79giờ (ứng với x 0 0,58 km)
- Vậy thời gian ngắn nhất là 0,79 giờ và phải đi theo quỹ đạo ACB
####### có HC 0,58km.
####### 1 Máy bay bay từ A tới B
####### a. Không có gió:
2
####### s
####### t 0,5 h 30
####### v
####### phút
H (d) A C B
####### x
T Đ
####### v '
v 1 v 2
B N
####### b. Gió thổi theo hướng Nam Bắc máy bay phải chếch về phía Nam
####### một góc so với phương AB với:
1 2
####### v 3
####### sin
####### v 25
#######
- Khi đó 2 2
####### v v 2 v 1 165, 46 m / s
- Thời gian bay:
####### AB
####### t 1813,127 s 30, 2
####### v
#######
#######
####### phút
####### c. Gió thổi theo hướng Tây Đông
1 2
####### 560
####### v v v m / s
####### 3
#######
- Thời gian bay
####### AB
####### t 1607,143 s 28, 78
####### v
#######
#######
####### phút
####### 1 Chất điểm chuyển động nhanh dần đều
- Áp dụng 0 2
####### 1
####### s v t at
####### 2
####### ; (v 0 là vận tốc ban đầu)
- Đi hết quãng đường đầu hết: t 1 5 s
s 1 5v 0 12,5a 100 m (1)
- Đi hết toàn bộ 2 quãng đường hếtt 2 5 3,5 8,5 s
2 0
####### 72, 25
####### s 8,5v a 200 m
####### 2
####### (2)
- Từ (1) và (2) ta được a 2 m / s 2 .
####### 1 Đoàn tàu rời ga chuyển động nhanh dần đều
- Gọi là chiều dài mỗi toa, tn là thời gian để n toa tầu đầu tiên đi
####### qua trước mặt người quan sát.
- Khi toa đầu tiên đi qua: 2
####### 1 at
####### 2
####### (với v 0 0 ) 12
2 t a
- Khi n 1 toa đầu đi qua:
- Chặng 3 : 2
####### a 3 0,5m / s ;
2 2 3 03 3 3 3 1 3 1 3
####### 1 1
####### s v t a t v t a t
####### 2 2
#######
- Khi dừng lại:v 3 v 03 a t 3 3 0 v 1 a t1 3 t 3 t 1
- Do đó: 2 2 1 1 3 1 1 1
####### a t
####### s a t s
####### 2
#######
2 1 1 1 2 1 1 2
####### a t
####### s 2s s 2 a t t 50 m
####### 2
#######
a t 1 1 t 1 t 2 50
1 1 1 1 1
####### t 5 s
####### 0,5t t 25 2t 50
####### t 20s
#######
#######
#######
- Giá trị t 1 20s bị loại (vì 2t 1 25 s). Vậy thời gian vật chuyển
động đềut 2 25 2t 1 25 2 15 s.
####### 1 Ném một vật theo phương thẳng đứng
- Chọn chiều (+) hướng xuống, t 0 là lúc vật được thả rơi tự do.
- Trường hợp rơi tự do:
####### 12
####### h gt t 4 s
####### 2
#######
####### a. Phải ném vật xuống dưới
2 0 0
####### 1 35
####### h v t 1 g t 1 v 11, 67 m / s
####### 2 3
#######
####### b. Phải ném vật lên trên
2 0 0
####### 1
####### h v t 1 g t 1 v 9 m / s
####### 2
#######
####### 1 Hai vật A, B chuyển động thẳng đứng
- Chọn trục toạ độ thẳng đứng, chiều (+) hướng lên, gốc toạ độ tại
####### mặt đất, gốc thời gian là lúc thả vật.
- Quãng đường chuyển động của vật rơi tự do và của vật được ném
####### lên từ mặt đất có dạng:
####### s 1 gt 2
####### 2
####### ; 0 2
####### 1
####### s ' v t gt
####### 2
#######
####### a. Hai vật gặp nhau ở độ cao h khi s Hvà s h
- Ta có:
H 1 gt 2
2
; 0 2
1
h v t gt
2
0
g h H 2gH
v h H
2H 2H
b. Khoảng cách x giữa hai vật trước lúc gặp nhau
x H h s s
h H 2gH H h
H h 2H 2gH
2H 2H
c. Vật 2 ném lên sẽ chuyển động chậm dần đến khi v t 0 thì vật
đạt độ cao cực đại:
t 0
2
max 0
v v gt 0
gt
h v t
2
;
2 2 0 max
v h H
h
2g 4H
- Áp dụngv 0 15 m / s ; x 30 15tta được:h max 11, 25 m
1 Tàu hoả chuyển động trên cung tròn
- Chọn chiều (+) là chiều chuyển động.
2 2
0 2
tA tB
v v
a a 0,125 m / s
2s
a. Tại A ta có:
2 2
aA atA anA với
2
0 2
nA
v
a 0, 28 m / s
R
A B
v A
v B
a tB
a tA
anA
anB
a B
a A
s
O
- Chọn hệ trục toạ độ xOy.
- Chuyển động của vật có dạng chuyển động của vật được ném
####### ngang, với:
v 0 720 km / h 200 m / s
####### a g
2 2 2 2 2
####### vt v x vy v 0 g t
- Áp dụng công thức: 2 n
####### v
####### a
####### R
####### (1)
- Trong đó: n x 0 t t
####### v v
####### a g g g
####### v v
####### (2)
- Từ (1) và (2)
2 2 2 3 2 3 t 0 0 0
####### v v g t
####### R
####### gv gv
#######
#######
- Với v 0 200 m / s; g 9,8m / s 2 ; t 5scó: R 4500 m.
####### 1 Vật được ném ngang từ đỉnh tháp
- Chọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng đứng chứa v 0 , hệ
####### trục xOy, t 0 là lúc ném vật.
####### a. Tại t, chất điểm ở M(x, y) và có a g
x y a 0 a a g
####### ;
x 0x 0 y 0y y
####### v v v
####### v
####### v v a t gt
#######
#######
#######
- Phương trình chuyển động theo Ox và Oy: 0 2
####### x v t
####### 1
####### y gt
####### 2
#######
#######
#######
#######
#######
- Khử t trong phương trình trên ta
####### được phương trình quỹ đạo:
2 2 0
####### 1 g
####### y x
####### 2 v
#######
- Quỹ đạo có dạng 1 phần parabol ON ( x 0 ; 0 y H) O x y
####### v 0
M
####### v
####### v x
x y a g N
####### v y
####### b. Hòn đá chạm đất khi :
####### 2H
####### y H 25 m t 5 s 2, 24 s
####### g
#######
c. Tầm xa:s v t 0 15 5 33,54 s
####### d. Vận tốc:
2 2 2 2 N 0
####### dx dy
####### v v gt 26,93 m / s
####### dt dt
#######
#######
#######
y 0 M x N N
####### v gt
####### v , v sin 0,83 56
####### v v
#######
- Gia tốc toàn phần: a g 10 m / s 2
- Tại N:
2
####### a t a sin g sin 8,3 m / s
2
####### a n a cos g cos 5, 6 m / s
####### e. Bán kính cong của quỹ đạo
2 n
####### v
####### R 22,5 m
####### a
#######
- Tại điểm bắt đầu ném:
2 0 0 n 0
####### v
####### v v ; a g R 22,5 m
####### g
#######
- Tại điểm hòn đá chạm đất:
2
v v ; an n a cos 5, 6 m / s
2 n n
####### v
####### R 129,5 m
####### a
#######
####### 1 Viên đạn chuyển động ném xiên
####### a. Phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo
0 2 0
####### x v cos .t
####### 1
####### y v sin .t gt
####### 2
#######
#######
#######
#######
#######
; 2 2
0
####### g
####### y x tg .x
####### 2v cos
#######
#######
2
####### a n a cos 10,887 8,87 m / s
- Tầm xa: 2
####### x v sin 2 0
####### g
#######
####### ; độ cao cực đại:
2 2 0 max
####### v sin
####### h
####### 2g
#######
#######
- Để tầm xa cực đại: 0
####### x max sin 2 max 1 45
- Để độ cao cực đại và tầm xa bằng nhau: 2 2 2 0 0 max max
####### v sin v sin 2
####### h x tg 4
####### 2g g
#######
####### 760
####### 1 Hai viên đạn được bắn lên lần lượt bởi một súng đại bác
- Hoàn toàn tương tự như bài 1, ta có phương trình chuyển động
####### của hai viên đạn là:
1 0 1 1 2 1 1 0 1 1
####### x v cos .t
####### gt
####### y v sin .t
####### 2
#######
#######
#######
#######
#######
####### (1)
2 0 2 2 2 2 2 0 2 2
####### x v cos .t
####### gt
####### y v sin .t
####### 2
#######
#######
#######
#######
#######
####### (2)
- Hai viên đạn gặp nhau khi 1 2 1 2
####### x x
####### y y
#######
#######
#######
####### hay:
0 1 1 0 2 2 2 2 1 2 0 1 1 0 2 2
####### v cos .t v cos .t (3)
####### gt gt
####### v sin .t v sin .t (4)
####### 2 2
#######
#######
#######
#######
#######
- Từ (3) 2 2
####### cos
####### t t
####### cos
#######
#######
#######
####### thay vào (4) ta được t 1 , t 2.
- Khoảng thời gian giữa 2 lần bắn:
0 1 2 2 1 1 2
####### 2v sin
####### t t t 10, 7 s
####### g cos cos
#######
#######
#######