60 câu trắc nghiệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
- VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM
Bài toán: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.
Phương pháp giải:
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là: $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\left( * \right)$
• Tính $y’ = f’\left( x \right) \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right)$
• Thay $f’\left( {{x_0}} \right)$ vào $\left( * \right)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Mở rộng:
• Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành Ox: Cho ${y_0} = 0$.
• Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành Oy: Cho ${x_0} = 0$.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$
Áp dụng công thức: $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\left( * \right)$
Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${M_0}$ là:
- $y = f’\left( x \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$.
- $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)$.
- $y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)$.
- $y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)x$.
Lời giải
Chọn C
Câu 2. Cho đường cong $\left( C \right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { – 1;1} \right)$ là
- $y = – 2x + 1$.
- $y = 2x + 1$.
- $y = – 2x – 1$.
- $y = 2x – 1$.
Lời giải
Chọn C.
$y = {x^2} \Rightarrow y’ = 2x$.
$y’\left( { – 1} \right) = – 2$.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y = – 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = – 2x – 1$.
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right):y = {x^3}$ tại điểm ${M_0}\left( { – 1; – 1} \right)$ là:
- $y = 3x – 2$.
- $y = 3x + 2$.
- $y = 3x + 3$.
- $y = – 3x + 3$.
Lời giải
Chọn B.
$ + y’ = 3{x^2} \Rightarrow y’\left( { – 1} \right) = 3$
PTTT của $\left( C \right)$ tại điểm ${M_0}\left( { – 1; – 1} \right)$ là $y = 3\left( {x + 1} \right) – 1 \Leftrightarrow y = 3x + 2$.
Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 7x + 2$. Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {0;2} \right)$ là:
- $y = 7x + 2$.
- $y = 7x – 2$.
- $y = – 7x + 2$.
- $y = – 7x – 2$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có : $y’ = {x^2} – 6x + 7$
Hệ số góc tiếp tuyến $y’\left( 0 \right) = 7$
Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {0;2} \right)$ : $y = 7\left( {x – 0} \right) + 2 = 7x + 2$.
Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 2}}$ tại điểm $M\left( { – 1; – 1} \right)$ là:
- $y = – 2x – 1$.
- $y = – 2x + 1$.
- $y = 2x + 1$.
- $y = 2x – 1$.
Lời giải
Chọn C
$f’\left( x \right) = \frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}$
Ta có ${x_0} = – 1;{y_0} = – 1;f’\left( {{x_0}} \right) = 2$ Phương trình tiếp tuyến $y = 2x + 1$.
Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}}$. Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {1; – 2} \right)$ là
- $y = – 4\left( {x – 1} \right) – 2$.
- $y = – 5\left( {x – 1} \right) + 2$.
- $y = – 5\left( {x – 1} \right) – 2$.
- $y = – 3\left( {x – 1} \right) – 2$.
Lời giải
Chọn C.
$y = \frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}} \Rightarrow y’ = \frac{{{x^2} – 4x – 2}}{{{{(x – 2)}^2}}},y’\left( 1 \right) = – 5$.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y = – 5\left( {x – 1} \right) – 2 \Leftrightarrow y = – 5x + 3$.
Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {2x} }}$ tại điểm $A\left( {\frac{1}{2};1} \right)$ có phương trình là:
- $2x + 2y = – 3$.
- $2x – 2y = – 1$.
- $2x + 2y = 3$.
- $2x – 2y = 1$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $y’ = – \frac{1}{{2x\sqrt {2x} }}$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là $:k = y’\left( {\frac{1}{2}} \right) = – 1$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow 2x + 2y = 3$.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$
+ $x = {x_0} \Rightarrow {y_0} = f({x_0}) = y({x_0})$
+ Tính $y’ \Rightarrow f'({x_0})$
+ Thay vào công thức $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$
Chú ý: Nếu tìm giao điểm với trục tung $Oy$ thì cho ${x_0} = 0$.
Câu 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} + 3x$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ là:
- $y = 10x + 4$.
- $y = 10x – 5$.
- $y = 2x – 4$.
- $y = 2x – 5$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} – 4x + 3$.
$y’\left( { – 1} \right) = 10;y\left( { – 1} \right) = – 6$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\left( d \right):y = 10\left( {x + 1} \right) – 6 = 10x + 4$.
Câu 9. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết hoành độ tiếp điểm bằng 1
- $y = 3x – 6$
- $y = 3x – 7$
- $y = 3x – 4$
- $y = 3x – 5$
Lời giải
Chọn C.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Ta có: ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = – 1,y’\left( 1 \right) = 3$
Phương trình tiếp tuyến là: $y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} = 3\left( {x – 1} \right) – 1 = 3x – 4$
Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{4}{{x – 1}}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ có phương trình là:
- $y = – x + 2$.
- $y = x + 2$.
- $y = x – 1$.
- $y = – x – 3$.
Lời giải
Chọn D.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$.
${x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = – 2$
Đạo hàm: $y’ = – \frac{4}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
$ \Rightarrow f'({x_0}) = y'({x_0}) = f'( – 1) = – 1$
Phương trình của tiếp tuyến là $y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} = – 1(x + 1) – 2 = – x – 3$
Câu 11. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {(x + 1)^2}\left( {x – 2} \right)$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là
- $y = – 8x + 4$.
- $y = 9x + 18$.
- $y = – 4x + 4$.
- $y = 9x – 18$.
Lời giải
Chọn D.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.
Ta có ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0$.
$y = {(x + 1)^2}\left( {x – 2} \right) = {x^3} – 3x + 2 \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 3 \Rightarrow y’\left( 2 \right) = 9$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 9\left( {x – 2} \right) + 0 \Leftrightarrow y = 9x – 18$.
Câu 12. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số $y = x{(3 – x)^2}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là
- $y = – 3x + 8$.
- $y = – 3x + 6$.
- $y = 3x – 8$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.
Ta có ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 2$.
$y = x{(3 – x)^2} = {x^3} – 6{x^2} + 9x \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 12x + 9 \Rightarrow y’\left( 2 \right) = – 3$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = – 3\left( {x – 2} \right) + 2 \Leftrightarrow y = – 3x + 8$.
Câu 13. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = f\left( x \right) = tan\left( {\frac{\pi }{4} – 3x} \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = \frac{\pi }{6}$ là:
- $y = – x + \frac{\pi }{6} + 6$.
- $y = – x – \frac{\pi }{6} – 6$.
- $y = – 6x + \pi – 1$.
- $y = – x – \frac{\pi }{6} + 6$.
Lời giải
Chọn C
$f’\left( x \right) = \frac{{ – 3}}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – 3x} \right)}};$
${x_0} = \frac{\pi }{6};{y_0} = – 1;f’\left( {{x_0}} \right) = – 6$
Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x + \pi – 1$.
Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – 2$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 2$ có phương trình là:
- $y = 4x – 8$.
- $y = 20x + 22$.
- $y = 20x – 22$.
- $y = 20x – 16$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $f’\left( x \right) = 3{x^2} – 4x$. Tại điểm A có hoành độ ${x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right) = – 18$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là : $k = f’\left( { – 2} \right) = 20$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 20x + 22$.
Câu 15. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} – 1$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ là:
- -2
- 0
- 1
- 2
Lời giải
Ta có $f’\left( { – 1} \right) = – 2$.
Chọn A.
Câu 16. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung.
- $y = – 3x + 12$
- $y = – 3x + 11$
- $y = – 3x + 1$
- $y = – 3x + 2$
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có: ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1,y’\left( {{x_0}} \right) = – 3$
Phương trình tiếp tuyến: $y = – 3x + 1$.
Câu 17. Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{x – 1}}$ cắt trục tung tại điểm $A$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A$ có phương trình là:
- $y = – 4x – 1$.
- $y = 4x – 1$.
- $y = 5x – 1$.
- $y = – 5x – 1$.
Lời giải
Chọn A.
Cho ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = – 1$
Ta có : điểm $A\left( {0; – 1} \right)$
$y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}} \Rightarrow $ hệ số góc tiếp tuyến $y’\left( 0 \right) = – 4$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {0; – 1} \right)$ là :
$y = – 4\left( {x – 0} \right) – 1 = – 4x – 1$.
Câu 18. Gọi $\left( P \right)$ là đồ thị của hàm số $y = 2{x^2} – x + 3$. Phương trình tiếp tuyến với $\left( P \right)$ tại điểm mà $\left( P \right)$ cắt trục tung là:
- $y = – x + 3$.
- $y = – x – 3$.
- $y = 4x – 1$.
- $y = 11x + 3$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có : $\left( P \right)$ cắt trục tung tại điểm $M\left( {0;3} \right)$.
$y’ = 4x – 1$
Hệ số góc tiếp tuyến : $y’\left( 0 \right) = – 1$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( P \right)$ tại $M\left( {0;3} \right)$ là $y = – 1\left( {x – 0} \right) + 3 = – x + 3$.
Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 1}}{{2x – 1}}$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có phương trình là:
- $y = x – 1$.
- $y = x + 1$.
- $y = x$.
- $y = – x$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $y’ = \frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{{{(2x – 1)}^2}}}$.
Giao điểm $M$ của đồ thị với trục tung : ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = – 1$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là : $k = y’\left( 0 \right) = 1$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ là : $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = x – 1$.
Câu 20. Gọi $M$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm $M$ là:
- $y = \frac{3}{2}x – \frac{1}{2}$
- $y = – \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$
- $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$
- $y = – \frac{3}{2}x – \frac{1}{2}$
Lời giải
Chọn B.
Vì $M$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy \Rightarrow M\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$
$y’ = \frac{{ – 3}}{{{{(x – 2)}^2}}} \Rightarrow k = y’\left( 0 \right) = – \frac{3}{4}$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ là: $y = – \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ $y = {y_0}$
+ $y = {y_0} \Rightarrow f({x_0}) = {y_0} \Rightarrow x = {x_0}$
+ Tính $y’ \Rightarrow f'({x_0})$
+ Thay vào công thức $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$
Chú ý: Nếu tìm giao điểm với trục hoành $Ox$ thì cho ${y_0} = 0$.
Câu 21. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tung độ tiếp điểm bằng 1
- $y = 2$
- $y = 1$
- $y = 3$
- $y = 4$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có ${y_0} = 1 \Leftrightarrow x_0^4 + x_0^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 0,y’\left( {{x_0}} \right) = 0$
Phương trình tiếp tuyến: $y = 1$
Câu 22. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tung độ tiếp điểm bằng 3
- $y = 9x – 1$ hay $y = 3$
- $y = 9x – 4$ hay $y = 3$
- $y = 9x – 3$ hay $y = 3$
- $y = 9x – 13$ hay $y = 3$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có: ${y_0} = 3 \Leftrightarrow x_0^3 – 3{x_0} – 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2,{x_0} = – 1$
• ${x_0} = – 1 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 0$. Phương trình tiếp tuyến: $y = 3$
• ${x_0} = 2 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 9$. Phương trình tiếp tuyến:
$y = 9\left( {x – 2} \right) + 3 = 9x – 13$.
Câu 23. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tung độ tiếp điểm bằng 9.
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = 18x + 81} \\ {y = – 9x} \\ {y = 18x – 27} \end{array}} \right.$
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = x + 81} \\ {y = 9x} \\ {y = 9x – 2} \end{array}} \right.$
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = 18x + 1} \\ {y = – 9x} \\ {y = 9x – 7} \end{array}} \right.$
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = x + 81} \\ {y = – 9x} \\ {y = 9x – 2} \end{array}} \right.$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Ta có: ${y_0} = 9 \Leftrightarrow x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} – 8 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = – 1,{x_0} = 2,{x_0} = – 4$.
• ${x_0} = – 4 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 18$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = 18\left( {x + 4} \right) + 9 = 18x + 81$
• ${x_0} = – 1 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = – 9$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = – 9\left( {x + 1} \right) + 9 = – 9x$
• ${x_0} = 2 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 18$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = 18\left( {x – 2} \right) + 9 = 18x – 27$.
Câu 24. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( H \right):y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ tại giao điểm của $\left( H \right)$ và trục hoành:
- $y = \frac{1}{3}\left( {x – 1} \right)$.
- $y = 3x$.
- $y = x – 3$.
- $y = 3\left( {x – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2} \right\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}$.
Cho ${y_0} = 0 \Rightarrow $${x_o} = 1 \Rightarrow y’\left( 1 \right) = \frac{1}{3};y\left( 1 \right) = 0$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $d:y = \frac{1}{3}\left( {x – 1} \right)$.
Câu 25. Cho hàm số $y = \frac{{2x – 4}}{{x – 3}}$ có đồ thị là $\left( H \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của $\left( H \right)$ với trục hoành là:
- $y = 2x – 4$.
- $y = 3x + 1$.
- $y = – 2x + 4$.
- $y = 2x$.
Lời giải
Chọn C.
Giao điểm của $\left( H \right)$ với trục hoành là $A\left( {2;0} \right)$.
Ta có: $y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 3)}^2}}} \Rightarrow y’\left( 2 \right) = – 2$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = – 2\left( {x – 2} \right)$ hay $y = – 2x + 4$.
Câu 26. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} + 5x + 4$, có đồ thị $\left( C \right)$. Tại các giao điểm của $\left( C \right)$ với trục $Ox$, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ có phương trình:
- $y = 3x + 3$ và $y = – 3x – 12$.
- $y = 3x – 3$ và $y = – 3x + 12$.
- $y = – 3x + 3$ và $y = 3x – 12$.
- $y = 2x + 3$ và $y = – 2x – 12$.
Lời giải
Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm. ${x^2} + 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1} \\ {x = – 4} \end{array}} \right.$
$f’\left( x \right) = 2x + 5$
TH1: ${x_0} = – 1;{y_0} = 0;f’\left( { – 1} \right) = 3$ PTTT có dạng $:y = 3x + 3$
TH2: ${x_0} = – 4;{y_0} = 0;f’\left( { – 4} \right) = – 3$ PTTT có dạng $:y = – 3x – 12$
Câu 27. Tìm trên $\left( C \right):y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ những điểm $M$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8 .
- $M\left( { – 1; – 4} \right)$
- $M\left( { – 2; – 27} \right)$
- $M\left( {1;0} \right)$
- $M\left( {2;5} \right)$
Lời giải
Chọn A.
Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_0} = 2x_0^3 – 3x_0^2 + 1$. Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x$.
Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ tại $M:y = \left( {6x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + 2x_0^3 – 3x_0^2 + 1$.
$\Delta $ đi qua $P\left( {0;8} \right) \Leftrightarrow 8 = – 4x_0^3 + 3x_0^2 + 1 \Leftrightarrow {x_0} = – 1$. Vậy $M\left( { – 1; – 4} \right)$.
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC k
Bài toán: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến có hệ số góc là $k$.
Phương pháp giải:
• Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị $\left( C \right)$.
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có hệ số góc $k$ là:
• $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$
• Tính $y’ = f’\left( x \right) \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right) = k\left( 1 \right)$
• Giải phương trình (1) tìm ${x_0}$, sau đó thay ${x_0}$ vào $y = f\left( x \right)$ suy ra ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$
• Thay ${x_0},{y_0}$ vào $\left( * \right)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$ là: $k = f’\left( {{x_0}} \right)$
2. Cho tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ là đường thẳng $\left( \Delta \right)$ có hệ số góc ${k_\Delta }$ và đường thẳng $\left( d \right):y = {k_d}x + b$. Khi đó :
• Nếu $\left( \Delta \right)//\left( d \right) \Rightarrow {k_\Delta } = {k_d}$
• Nếu $\left( \Delta \right) \bot \left( d \right) \Rightarrow {k_\Delta } \cdot {k_d} = – 1 \Leftrightarrow {k_\Delta } = – \frac{1}{{{k_d}}}$
Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{2 – 3x}}{{x – 1}}$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :
- 9 .
- $\frac{1}{9}$.
- -9 .
- $ – \frac{1}{9}$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$. Đạo hàm: $y’ = \frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
Cho ${y_0} = 0 \Rightarrow {x_0} = \frac{2}{3}$
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $A\left( {\frac{2}{3};0} \right)$.
Hệ số góc của tiếp tuyến là $y’\left( {\frac{2}{3}} \right) = 9$.
Câu 2. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$ tại giao điểm với trục tung bằng :
- -2 .
- 2 .
- 1 .
- -1 .
Lời giải
Chọn B.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1} \right\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
Cho ${x_o} = 0 \Rightarrow {y_0}^\prime = 2$.
Câu 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = tanx$ tại điểm có hoành độ $x = \frac{\pi }{4}$.
- $k = 1$.
- $k = \frac{1}{2}$.
- $k = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
- 2 .
Lời giải
Chọn D.
$y = tanx \Rightarrow y’ = \frac{1}{{co{s^2}x}}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = tanx$ tại điểm có hoành độ $x = \frac{\pi }{4}$ là $k = y’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2$.
Câu 4. Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = sinx + 1$ tại điểm có hoành độ $\frac{\pi }{3}$ là
- $k = \frac{1}{2}$.
- $k = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
- $k = – \frac{1}{2}$.
- $k = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
$y’ = cosx,k = y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = cos\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$.
Câu 5. Tiếp tuyến của hàm số $y = \frac{{x + 8}}{{x – 2}}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 3$ có hệ số góc bằng
- 3
- -7
- -10
- -3
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $y’ = \frac{{ – 10}}{{{{(x – 2)}^2}}} \Rightarrow k = y’\left( {{x_0}} \right) = y’\left( 3 \right) = \frac{{ – 10}}{{{{(3 – 2)}^2}}} = – 10$
Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 5}}$ tại điểm $A\left( { – 1;0} \right)$ có hệ số góc bằng
- $\frac{1}{6}$
- $\frac{6}{{25}}$
- $ – \frac{1}{6}$
- $ – \frac{6}{{25}}$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $y’ = \frac{{ – 6}}{{{{(x – 5)}^2}}}$. Theo giả thiết: $k = y’\left( { – 1} \right) = – \frac{1}{6}$
Câu 7. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $f\left( x \right) = – {x^3} + x + 2$ tại điểm $M\left( { – 2;8} \right)$ là:
- 11.
- -12
- -11 .
- 6 .
Lời giải
Ta có $f’\left( { – 2} \right) = – 11$
Chon C.
Câu 8. Điểm $M$ trên đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$ mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc $k$ bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì $M,k$ là
- $M\left( {1; – 3} \right),k = – 3$.
- $M\left( {1;3} \right),k = – 3$.
- $M\left( {1; – 3} \right),k = 3$.
- $M\left( { – 1; – 3} \right),k = – 3$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ là $k = y’\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 – 6{x_0} = 3{\left( {{x_0} – 1} \right)^2} – 3 \geqslant – 3$
Vậy $k$ bé nhất bằng -3 khi ${x_0} = 1,{y_0} = – 3$.
Câu 9. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9
- $y = 9x – 1$ hay $y = 9x + 17$
- $y = 9x – 1$ hay $y = 9x + 1$
- $y = 9x – 13$ hay $y = 9x + 1$
- $y = 9x – 13$ hay $y = 9x + 17$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 – 3 = 9 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 2$
• ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 3$. Phương trình tiếp tuyến:
$y = 9\left( {x – 2} \right) + 3 = 9x – 13$.
• ${x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = – 1$.
Phương trình tiếp tuyến:
$y = 9\left( {x + 2} \right) – 1 = 9x + 17$.
Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} – 2$ có hệ số góc $k = – 9$, có phương trình là :
- $y – 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
- $y = – 9\left( {x + 3} \right)$.
- $y – 16 = – 9\left( {x – 3} \right)$.
- $y + 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = {x^2} + 6x$.
• $k = – 9 \Leftrightarrow y’\left( {{x_o}} \right) = – 9 \Leftrightarrow x_o^2 + 6{x_o} = – 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_o} + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x_o} = – 3 \Rightarrow {y_o} = 16$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\left( d \right):y = – 9\left( {x + 3} \right) + 16 \Leftrightarrow y – 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
Câu 11. Cho hàm số: $y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1 .
- $y = – x – 2,y = – x + 7$.
- $y = – x – 5,y = – x + 6$.
- $y = – x – 1,y = – x + 4$.
- $y = – x – 1,y = – x + 7$.
Lời giải
Chọn D
Hàm số đã cho xác định với $\forall x \ne 1$. Ta có: $y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ :
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1
Nên có: ${y’_0} = – 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 4}}{{{{({x_0} – 1)}^2}}} = – 1 \Leftrightarrow {x_0} = 3,{x_0} = – 1$
• Với ${x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \Delta :y = – x – 1$
• Với ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow \Delta :y = – x + 7$
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: $y = – x – 1,y = – x + 7$.
Câu 12. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 1}}{{x – 2}}$ và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$ của đồ thị hàm số là
- $y = 2x – 1;y = 2x – 3$.
- $y = 2x – 5;y = 2x – 3$.
- $y = 2x – 1;y = 2x – 5$.
- $y = 2x – 1;y = 2x + 5$.
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $y’ = \frac{{{x^2} – 4x + 5}}{{{{(x – 2)}^2}}}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến $k = 2 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2 – 4{x_0} + 5}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow x_0^2 – 4{x_0} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = 1} \\ {{x_0} = 3} \end{array}} \right.$.
Với ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow $ pttt: $y = 2\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x – 1$.
Với ${x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow $ pttt: $y = 2\left( {x – 3} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x – 5$.
Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 2x – 1,y = 2x – 5$.
Câu 13. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: $y = \frac{{2x}}{{x – 1}}$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $ – 2$
- $y = – 2x + 1,y = – 2x$
- $y = – 2x + 2,y = – 2x + 4$
- $y = – 2x + 9,y = – 2x$
- $y = – 2x + 8,y = – 2x$
Lời giải
Chọn D
Ta có: $y’ = \frac{{2\left( {x – 1} \right) – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}$.
Gọi $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ bằng $y’\left( {{x_0}} \right) = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}$
Theo giải thiết, ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = – 2 \Leftrightarrow \frac{{ – 2}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 2$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} – 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} – 1 = 1} \\ {{x_0} – 1 = – 1} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 4} \\ {{x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 0} \end{array}} \right.} \right.$
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: $y = – 2x + 8,y = – 2x$
Câu 14. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: $y = 2{x^4} – 4{x^2} + 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 48x – 1$.
- $y = 48x – 9$
- $y = 48x – 7$
- $y = 48x – 10$
- $y = 48x – 79$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 8{x^3} – 8x$
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 48x – 1$
Nên ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 48 \Leftrightarrow x_0^3 – {x_0} – 6 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2$
Suy ra ${y_0} = 17$. Phương trình tiếp tuyến là:
$y = 48\left( {x – 2} \right) + 17 = 48x – 79$.
Câu 15. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 6x – 1$
- $y = 6x – 2$
- $y = 6x – 7$
- $y = 6x – 8$
- $y = 6x – 3$
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 6x – 1$ nên ta có:
• $y’\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 2{x_0} = 6 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 3$
Phương trình tiếp tuyến: $y = 6x – 3$.
Câu 16. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y = – 4x + 1$.
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = – 4x + 2} \\ {y = – 4x + 14} \end{array}} \right.$
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = – 4x + 21} \\ {y = – 4x + 14} \end{array}} \right.$
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = – 4x + 2} \\ {y = – 4x + 1} \end{array}} \right.$
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = – 4x + 12} \\ {y = – 4x + 14} \end{array}} \right.$
Lời giải
Chọn A.
Hàm số xác định với mọi $x \ne 1$. Ta có: $y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ : Vì tiếp tuyến song với đường thẳng $d:y = – 4x + 1$ nên ta có:
• $y’\left( {{x_0}} \right) = – 4 \Leftrightarrow \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 4 \Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = 2$
• ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 2 \Rightarrow \Delta :y = – 4x + 2$
• ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 6 \Rightarrow \Delta :y = – 4x + 14$
Câu 17. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} – 8x + 1$, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $\Delta :y = x + 28$ ?
- $y = x + 28$.
- $y = x – 4;y = x + 28$.
- $y = x – 4$.
- $y = x + 1$.
Lời giải
Chọn C.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} + 6x – 8$.
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng $y = x + 28$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 .
Ta có phương trình $1 = 3{x^2} + 6x – 8 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1} \\ {x = – 3} \end{array}} \right.$.
Tại $M\left( {1; – 3} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x – 4$.
Tại $N\left( { – 3;25} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 28$( loại vì trùng với $\Delta $)
Câu 18. Cho hàm số $y = {x^2} – 6x + 5$ có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:
- $x = – 3$.
- $y = – 4$.
- $y = 4$.
- $x = 3$.
Lời giải
Chọn B.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 2x – 6$.
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có:
$y’\left( {{x_o}} \right) = 0 \Rightarrow 2{x_o} – 6 = 0 \Leftrightarrow {x_o} = 3 \Rightarrow {y_o} = – 4 \Rightarrow d:y = – 4$.
Câu 19. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right):y = {x^3}$ biết nó vuông góc với đường thẳng $\Delta :y = – \frac{x}{{27}} + 8$ là:
- $y = – \frac{1}{{27}}x + 8$.
- $y = 27x \pm 3$.
- $y = – \frac{1}{{27}}x \pm 3$.
- $y = 27x \pm 54$.
Lời giải
Chọn D.
$y’ = 3{x^2}$.
+Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm.
• Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $\Delta :y = \frac{{ – 1}}{{27}}x + 8$ suy ra
$y’\left( {{x_0}} \right) = 27 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 27 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = 3} \\ {{x_0} = – 3} \end{array}.} \right.$
• Với ${x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 27$. PTTT là: $y = 27\left( {x – 3} \right) + 27 \Leftrightarrow y = 27x – 54$
• Với ${x_0} = – 3 \Rightarrow {y_0} = – 27$. PTTT là: $y = 27\left( {x + 3} \right) – 27 \Leftrightarrow y = 27x + 54$.
Câu 20. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = – \frac{1}{{18}}x + 1$
- $y = 18x + 8$ và $y = 18x – 27$.
- $y = 18x + 8$ và $y = 18x – 2$.
- $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 2$.
- $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 27$.
Lời giải
Chọn D.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = – \frac{1}{{18}}x + 1$ nên
Ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 15 \Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} – 8 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = – 4,{x_0} = 2$
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 27$.
Câu 21. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 2$
- $y = – 3x – 11$ hay $y = – 3x + 11$
- $y = – 3x – 11$ hay $y = – 3x + 1$
- $y = – 3x – 1$ hay $y = – 3x + 1$
- $y = – 3x – 1$ hay $y = – 3x + 11$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $y’ = \frac{{ – 3}}{{{{(x – 1)}^2}}}$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm.Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 2$ nên ta có
$y’\left( {{x_0}} \right) = – 3 \Leftrightarrow \frac{{ – 3}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 3 \Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = 2$
• ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = – 1$, phương trình tiếp tuyến là:$y = – 3x – 1$
• ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 5$, phương trình tiếp tuyến là: $y = – 3\left( {x – 2} \right) + 5 = – 3x + 11$.
Câu 22. Cho hàm số $y = 3{x^2} – 2x + 5$, có đồ thị $\left( C \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $x + 4y + 1 = 0$ là đường thẳng có phương trình:
- $y = 4x + 1$.
- $y = 4x + 2$.
- $y = 4x – 4$.
- $y = 4x – 2$.
Lời giải
Chọn C.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có phương trình là: $y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)$
$d:x + 4y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = – \frac{1}{4}x – \frac{1}{4}$
$y’ = 6x – 2$
Tiếp tuyến vuông góc với $d$ nên $y’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( { – \frac{1}{4}} \right) = – 1 \Leftrightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 4 \Leftrightarrow 6{x_0} – 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 1$,
$y\left( 1 \right) = 6$. Phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = 4x + 2$
Câu 23. Tìm $m$ để tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \left( {2m – 1} \right){x^4} – m + \frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$ vuông góc với đường thẳng $d:2x – y – 3 = 0$.
- $\frac{3}{4}$.
- $\frac{1}{4}$.
- $\frac{7}{{16}}$.
- $\frac{9}{{16}}$.
Lời giải
Chọn D.
$d:2x – y – 3 = 0 \Leftrightarrow y = 2x – 3 \Rightarrow {k_d} = 2$.
$y = \left( {2m – 1} \right){x^4} – m + \frac{5}{4} \Rightarrow y’ = 4\left( {2m – 1} \right){x^3}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \left( {2m – 1} \right){x^4} – m + \frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$ là ${k_{tt}} = y’\left( { – 1} \right) = 4\left( {2m – 1} \right){( – 1)^3} = – 4\left( {2m – 1} \right)$.
Ta có ${k_{tt}} \cdot {k_d} = – 1 \Leftrightarrow – 8\left( {2m – 1} \right) = – 1 \Leftrightarrow m = \frac{9}{{16}}$
Câu 24. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.
- $y = 2,y = – 1$
- $y = 3,y = – 1$
- $y = 3,y = – 2$
- $x = 3,x = – 1$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 0$
Hay ${x_0} = \pm 1$. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: $y = 3,y = – 1$.
Câu 25. Cho hàm số $y = 2 – \frac{4}{x}$ có đồ thị $\left( H \right)$. Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = – x + 2$ và tiếp xúc với $\left( H \right)$ thì phương trình của $\Delta $ là
- $y = x + 4$.
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = x – 2} \\ {y = x + 4} \end{array}} \right.$.
- $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = x – 2} \\ {y = x + 6} \end{array}} \right.$.
- Không tồn tại.
Lời giải
Chọn C.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{4}{{{x^2}}}$
Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = – x + 2$ nên $\Delta $ có hệ số góc bằng 1 . Ta có phương trình $1 = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2} \\ {x = – 2} \end{array}} \right.$.
Tại $M\left( {2;0} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x – 2$.
Tại $N\left( { – 2;4} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 6$.
III. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Bài toán: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$.
Phương pháp giải:
• Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị $\left( C \right)$.
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là:
$y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\;hay\;y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$
Tính $y’ = f’\left( x \right) \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right)$ và ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$
• Vì tiếp tuyến đi qua $A\left( {{x_1};{y_1}} \right) \Rightarrow {y_1} = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {{x_1} – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$
• Giải phương trình (2) tìm ${x_0}$ thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .
Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right):y = {x^3}$ biết nó đi qua điểm $M\left( {2;0} \right)$ là:
- $y = 27x \pm 54$.
- $y = 27x – 9$ và $y = 27x – 2$.
- $y = 27x \pm 27$.
- $y = 0$ và $y = 27x – 54$.
Lời giải
Chọn D.
$ + y’ = 3{x^2}$.
• Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm. PTTT của $\left( C \right)$ tại $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là:
$y = 3x_0^2\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3\;\left( d \right).$
• Vì tiếp tuyến $\left( d \right)$ đí qua $M\left( {2;0} \right)$ nên ta có phương trình:
$3x_0^2\left( {2 – {x_0}} \right) + x_0^3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = 0} \\ {{x_0} = 3} \end{array}.} \right.$
• Với ${x_0} = 0$ thay vào $\left( d \right)$ ta có tiếp tuyến $y = 0$.
• Với ${x_0} = 3$ thay vào $\left( d \right)$ ta có tiếp tuyến $y = 27x – 54$.
Câu 2. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $N\left( {0;1} \right)$.
- $y = – \frac{{33}}{4}x + 11$
- $y = – \frac{{33}}{4}x + 12$
- $y = – \frac{{33}}{4}x + 1$
- $y = – \frac{{33}}{4}x + 2$
Lời giải
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.
Phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0} – 6} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} + 1$
Vì tiếp tuyến đi qua $N\left( {0;1} \right)$ nên ta có:
$1 = \left( {3x_0^2 + 6{x_0} – 6} \right)\left( { – {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} + 1$
$ \Leftrightarrow 2x_0^3 + 3x_0^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = – \frac{3}{2}$
• ${x_0} = 0 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = – 6$. Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x + 1$.
• ${x_0} = – \frac{3}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{{107}}{8},y’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{{33}}{4}$. Phương trình tiếp tuyến $y’ = – \frac{{33}}{4}\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{{107}}{8} = – \frac{{33}}{4}x + 1$
Câu 3. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $M\left( { – 1;3} \right)$.
- $y = – 6x – 2$
- $y = – 6x – 9$
- $y = – 6x – 3$
- $y = – 6x – 8$
Lời giải
Chọn C
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
$y = \left( {4x_0^3 + 2{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^4 + x_0^2 + 1$
Vì tiếp tuyến đi qua $M\left( { – 1;3} \right)$ nên ta có:
$3 = \left( {4x_0^3 + 2{x_0}} \right)\left( { – 1 – {x_0}} \right) + x_0^4 + x_0^2 + 1 \Leftrightarrow 3x_0^4 + 4x_0^3 + x_0^2 + 2{x_0} + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {3x_0^2 – 2{x_0} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = 3,y’\left( {{x_0}} \right) = – 6$
Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x – 3$.
Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { – 6;5} \right)$ là
- $y = – x – 1;y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$.
- $y = – x – 1;y = – \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$.
- $y = – x + 1;y = – \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$.
- $y = – x + 1;y = – \frac{1}{4}x – \frac{7}{2}$.
Lời giải
Chọn B.
$y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}} \Rightarrow y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 2)}^2}}}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ với ${x_0} \ne 2$ là:
$y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}}$.
Vì tiếp tuyến đi qua điểm $\left( {2;3} \right)$ nên ta có $3 = \frac{{ – 7}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {2 – {x_0}} \right) + \frac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} – 1}} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{3}{2}$.