Bài tập tự luận hoán vị chỉnh hợp tổ hợp năm 2024

Ví dụ 1. Từ các chữ số 6, 7,8 và 9 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau? Lời giải Mỗi cách sắp xếp bốn chữ số đã cho để lập thành một số có bốn chữ số khác nhau là một hoán vị của bốn chữ số đó.

Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau có thể lập được là P 4  4!  24.

2. CHỈNH HỢP

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử

(với k n, là các số tự nhiên, 1  k  n).

Số các chỉnh hợp chập k của n , kí hiệu là Ank , được tính bằng công thức

( 1) ( 1) hay! (1 ). ( )!

k k n n A n n n k A n k n n k

         

Chú ý

• Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phân tử và sắp xếp chúng.
• Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy n Pn  An. Ví dụ 2. Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lần lượt 4 học sinh trồng bốn cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn? Lời giải Mỗi cách chọn lần lượt 4 trong 30 học sinh để trồng bốn cây khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 30. Vậy số cách chọn là A 304  657720
• TỔ HỢP

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k n, là các

số tự nhiên, 0  k  n).

Số các tổ hợp chập k của n , kí hiệu là Cn k, được tính bằng công thức

! (0 ). ( )!!

k n C n k n n k k

   

Chú ý

!

k k Cn An k

.

• Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự. Ví dụ 3. Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa? Lời giải

BÀI 25. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7. Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là 74 7! 35 4!3!

C  . 4. ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán đếm liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính Pn , Ank ,Cn ksẽ được dùng rất nhiều. Ví dụ 4. Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi lại về Hà Nội. a) Hỏi anh Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan). b) Anh Hưng có việc đột xuất phải về sớm, nên anh chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 địa điểm. Hỏi anh Hựng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan? Lời giải a) Anh Hưng đi tham quan 5 địa điểm, mỗi cách xếp lịch trình là một cách chọn có thứ tự của 5 địa điểm trên. Vậy số cách xếp lịch trình chính bằng số các hoán vị của 5 địa điểm, và bằng

P 5  5!  5 4 3 2 1     120 (cách).

1. Nếu anh Hưng chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 nơi, thì mỗi cách xếp lịch trình của anh chính là

một cách chọn có thứ tự 3 địa điểm từ 5 địa điểm, tức là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

Vậy số cách xếp lịch trình đi tham quan trong trường hợp này là

53 5! 5! 60 (5 3)! 2!

A    

(cách).

Ví dụ 5. Danh sách các cầu thủ của Đội tuyển bóng đá quốc gia tham dự một trận đấu quốc tế có 23 cầu thủ gồm 3 thủ môn, 7 hậu vệ, 8 tiền vệ và 5 tiền đạo. Huấn luyện viên rất bí mật, không cho ai biết đội hình (danh sách 11 cầu thủ) sẽ ra sân. Trong cuộc họp báo, ông chỉ tiết lộ đội sẽ đá

theo sơ đồ 3  4 - 3 (nghĩa là 3 hậu vệ, 4 tiền vệ, 3 tiền đạo và 1 thủ môn). Đối thủ đã có danh

sách 23 cầu thủ (tên và vị tri của từng cầu thủ) và rất muốn dự đoán đội hình, họ xét hết các khả năng có thể xảy ra. Hỏi nếu đối thủ đã dự đoán được trước vị trí thủ môn thì họ sẽ phải xét bao nhiêu đội hình có thể?

Lời giải Vì mỗi đội hình gồm có 1 thủ môn, 3 hậu vệ, 4 tiền vệ và 3 tiền đạo và đã biết trước vị trí thủ môn, nên để chọn đội hình ta cần thực hiện 3 công đoạn:

1. Chọn hậu vệ là chọn 3 trong số 7 hậu vệ: có C 7 3  35 (cách).
2. Chọn tiền vệ là chọn 4 trong số 8 tiền vệ: có C 8 4  70 (cách).
3. Chọn tiền đạo là chọn 3 trong số 5 tiền đạo: có C 35  10 (cách).

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

24 120960.

Câu 5. Một tổ có 8 học sinh gồm 4 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh trong tổ: a) Thành một hàng dọc? b) Thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau? Lời giải

a) Có 8!  40320 cách xếp.

1. Vì số lượng nam và nữ bằng nhau nên có hai trường hợp: nam đứng đầu hàng hoặc nữ đứng đầu hàng.

Số cách xếp nếu nam đứng đầu hàng là 4!.4!  576.

Số cách xếp nếu nữ đứng đầu hàng là 4!.4!  576.

Vậy số cách xếp một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau là: 576  576 1152.

Câu 6. Tính số cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ. Lời giải Mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu 11m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ. Vậy số cách sắp xếp là: P 5  5.4.3.2  120

Câu 7. Bãi đỗ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như Hình. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A B C, , ) đang đi vào bãi để

đỗ xe.

1. Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống? b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên. Lời giải a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là

P 3  3 .1  6 (cách).

1. Sơ đồ hình cây như Hình. Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cành lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cành bé. Từ đó, số cành bé bằng 3.2  6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 6 cách.

Câu 8. Từ các chữ số 1;2;3;4;5, lập các số có năm chữ số khác nhau.

1. Có thể lập được bao nhiêu số như vậy? b) Trong số đó có bao nhiêu số chẵn?

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 5

Lời giải

a) Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số 1;2;3;4;5 là một hoán vị của

năm chữ số này. Do đó, số số tự nhiên lập được là

P 5  5!  5 4 3 2 1     120 (số).

1. Bước 1: chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số chẵn. Có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4).

Bước 2: chọn bốn chữ số còn lại, có P 4  4! cách chọn.

Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là

2  P 4  2 4!  2 4 3 2    48 (số).

Câu 9. Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.

1. Có bao nhiêu cách xếp? b. Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp? Lời giải a. Mỗi cách xếp 5 học sinh vào 5 chiếc ghế là 1 hoán vị của 5 học sinh  Có: 5!  5 4 3 2 1     120(cách ) b.- CĐ1: Xếp Nga vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái  có 1 cách xếp.

• CĐ2: Xếp 4 học sinh còn lại vào 4 chiếc ghế còn lại là 1 hoán vị của 4 học sinh  Có:

4!  4 3 1   24 (cách)

 Áp dụng quy tắc nhân, có: 1  24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề.

Câu 10. Có 5 cuốn sách Toán học khác nhau và 3 cuốn sách Sinh học khác nhau.

1. Có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách này thành một dãy trên giá sách? b) Nếu yêu cầu thêm các cuốn sách cùng môn phải được xếp cạnh nhau thì có bao nhiêu Hinh 1 cách xếp? Lời giải a) Mỗi cách sắp xếp 8 cuốn sách thành một dãy trên giá là một hoán vị của 8 cuốn sách này. Do đó, có 8!  40320 cách sắp xếp. b) Có 5! cách sắp xếp 5 cuốn sách Toán học cạnh nhau để thành một dãy. Có 3! cách sắp xếp 3 cuốn sách Sinh học cạnh nhau để thành một dãy. Có 2! cách sắp xếp 2 dãy trên cạnh nhau để thành một dãy mới. Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, số cách sắp xếp các cuốn sách trên thành một dãy sao cho các sách cùng môn được xếp cạnh nhau là 5!3!2!  1440 (cách xếp).

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 7

Câu 18. Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa lý. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách nếu: a. Sắp xếp tùy ý? b. Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau? Lời giải a. Có tất cả 12 cuốn sách nên có 12! cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách. b. Ta phân giá sách làm 3 khu để 3 loại sách toán; lý; hóa có tất cả 3! cách phân như vậy. Có 3! cách sắp xếp 3 cuốn sách lý vào khu đã được phân. Có 4! cách sắp xếp 4 cuốn sách sinh vào khu đã được phân. Có 5! cách sắp xếp 5 cuốn sách địa vào khu đã được phân. Vậy có tất cả 3!3!4!5! = 103680 cách sắp xếp các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau trên giá.

Câu 19. (học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đếm và hoán vị) Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4. a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chữ số 3 đứng ở chính giữa? Lời giải Cách 1 a. Số tự nhiên cần lập có dạng abcde (a 0) Trong đó chữ sổ a có 4 cách chọn. Chữ số b có 4 cách chọn. Chữ số c có 3 cách chọn. Chữ số d có 2 cách chọn. Chữ số e có 1 cách chọn. Nên có tất cả 4.4.3.2 = 96 số thỏa mãn yêu cầu đề bài. b. Số tự nhiên cần lập có dạng ab3de (a 0). Chữ số a có 3 cách chọn. Chữ số b có 3 cách chọn. Chữ số d có 2 cách chọn. Chừ sô e có 1 cách chọn. Vậy thành lập được tất cả 3.3 = 18 số có 5 chữ số khác nhau mà số 3 đứng chính giữa từ các số trên. Cách 2. a. Mồi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là một hoán vị của {0; 1; 2; 3; 4}. Các số có dạng 0abcd mà a;b;c;d khác nhau là một hoán vị của các số {1; 2; 3; 4}. Nên 5 có tất cả 5! - 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên. b. Tương tự phần a; các số có dạng ab3de bằng với số hoán vị của 4 số {0; 1; 2; 4}. Các số có dạng 0a3cd bằng số hoán vị của 3 số {l;2;4}. Nên có tất cả 4!—3! = 18 số có 5 chữ số khác nhau có số 3 đứng giữa được thành lập từ các số trên.

Câu 20. Bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn A, B, C, D, E, F, G vào 1 hàng sao cho a. A đứng chính giữa? b. A,B ngồi đứng 2 đầu dãy? Lời giải Vì bạn A đứng chính giữa và 6 bạn còn lại sắp xép tùy ý nên có 6! cách sắp xếp một hàng. Vi bạn A; B đứng 2 đầu dãy nên A;B có 2 cách chọn vị trí đứng. 5 bạn còn lại có 5! Cách sắp xếp. 5!cách sắp xếp.

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Vậy có tất cả 2! cách sắp xếp 7 bạn thành 1 hàng sao cho A,B đứng 2 đầu dãy.

Câu 21. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao không có 2 viên bi nào cùng màu đứng gần nhau? Lời giải Ta đánh số vị trí của hàng bằng các số 1 đến 20. Vì các viên bi cùng màu không đứng gần nhau nên các viên bi cùng màu được đánh số cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách sắp xếp 10 viên bị đỏ vào 10 vị trí cùng chẵn hoặc cùng lẻ có 10! cách. Cách sắp xếp 10 viên bị đỏ vào 10 vị trí cùng chẵn hoặc cùng lẻ có 10! cách. Vậy có tất cả 2! 10! cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao cho không có 2 viên bi nào cùng màu đứng gần nhau.

Câu 22. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau Lời giải Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3,4).

• Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0.
• Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách.
• Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4. Suy ra có 120 = 240 số.
• Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0.
• Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách.
• Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4. Suy ra có 24 = 48 số. Vậy có 240 - 48 = 192 số. Dạng 2. Tính số các chỉnh hợp

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 23. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

1. Gồm 9 chữ số đôi một khác nhau? b) Gồm 7 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải a) Có P 9  9!  362880 (số). b) Có A 97  181440 (số).

Câu 24. Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 , 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

1. Gồm 10 chữ số đôi một khác nhau? b) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải

a) Có 10! 9!  3265920 (số).

1. Có A 106  A 95  136080 (số).

Câu 25. Bạn Dũng mới mua điện thoại và muốn lập mật khẩu có 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bạn Dũng có bao nhiêu cách để lập một mật khẩu? Lời giải Mỗi mật khẩu có thể lập được là một cách chọn 6 chữ số từ 10 chữ số và sắp xếp thứ tự của chúng, tức là một chịnh hợp chập 6 của 10 phần tử. Vậy bạn Dũng có A 106  151200 (cách lập mật khẩu).

Câu 26. Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Vậy số cách xếp vị trí chụp ảnh là A 1840 .22!. Cách 2: Vì ta có thể xếp vị trí của 40 học sinh rồi chia 18 học sinh ngồi ở hàng đầu và 22 học sinh đứng ở hàng sau nên số cách xếp vị trí chụp ảnh có thể tính bằng 40 !.

Câu 31. Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã? Lời giải Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số. Vậy có A 106  10 9 8 7 6 5      151200 (cách để tạo mật mã).

Câu 32. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

1. Gồm 8 chữ số đôi một khác nhau? b. Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải

a. Lập được P 8  40320 số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau.

1. Lập được A 86  20160 số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau.

Câu 33. Trong chương trình ngoại khoá giáo dục truyền thống, 60 học sinh được trường tổ chức cho đi xem phim. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng. Mỗi hàng có 20 ghế. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên? b. Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai? c. Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba? Lời giải a. Có A 6020 cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên. b. Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có A 4020 cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai. c. Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có A 2020 cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba.

Câu 34. Bạn Việt chọn mật khẩu cho email của mình là một dãy gồm 8 kí tự đôi một khác nhau, trong đó có 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường và 5 kí tự tiếp theo là chữ số. Bạn Việt có bao nhiêu cách tạo ra mật khẩu? Lời giải Bạn Việt có A 263  A 105  471744000 cách tạo ra mật khẩu.

Câu 35. Mỗi máy tính tham gia vào mạng phải có một địa chỉ duy nhất, gọi là địa chỉ IP, nhằm định danh

máy tính đó trên Internet. Xét tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng 192 .abc. deg, trong đó a, d là các

chữ số khác nhau được chọn ra từ các chữ số 1,2, còn b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn ra từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?

Lời giải Tập hợp A có số phần tử là: 2  A 62   1 A 62  1800 (phần tử)

Câu 36. Một nhóm 22 bạn đi chụp ảnh kỷ yếu. Nhóm muốn trong bức ảnh có 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau. Có bao nhiêu cách xếp vị trí chụp ảnh như vậy? Lời giải Có số cách xếp vị trí chụp ảnh để 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau là: 7 A 22  15  12893126400 (cách)

Câu 37. Tính: a)

3 A 5 ,b) 4 A 7 ;c) 2 A 5. Lời giải

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 11

1. A 53  5 4 3   60 ; b) A 74  7 6 5 4    840 ; c) A 52  5 4  20

Câu 38. Phần thi chung kết nội dung chạy cự li 1500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích cùng lúc.

Lời giải Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là 3 A 10  10.9 720.

Câu 39. Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau? a. 1; 2;3; 4;5; 6 b. 0;1; 2;3; 4; Lời giải a. Chọn 4 chữ số trong 6 chữ số đã cho lập thành số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Do đó, số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là: 4 6

6! 360 (6 4)!   

A số có 4 chữ số khác nhau.

b.

• CĐ1: Chọn chữ số hàng nghìn là chữ số khác 0  Có 5 cách chọn.
• CĐ2:Chọn 3 chữ số trong 5 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 5  Có A 53  60 cách chọn.

 Áp dụng quy tắc nhân, có 5  300 số thỏa mãn yêu cầu đề.

Câu 40. Một ga tàu hoả có 6 đường nhánh, mỗi nhánh chỉ đỗ được một đoàn tàu. Hiện các đường nhánh đều đang trống và có 3 đoàn tàu sắp vào ga. Có bao nhiêu cách bố trí nhánh đỗ cho 3 đoàn tàu?

Lời giải Mỗi cách chọn 3 đường nhánh và bố trí nhánh đỗ cho 3 đoàn tàu là một chỉnh hợp chập 3 của 6 đường nhánh. Do đó, số cách bố trí là A 63  6 5  120 (cách).

Câu 41. Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

1. Có bốn chữ số khác nhau? b) Có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5? c) Có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 4500? Lời giải

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 13

Lời giải Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: abcd và a b c d , , ,  A  {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, a  0,a  b  c d. Để abcd chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0;5}.

• Chọn c có 2 cách,
• Chọn 3 số a, b, c và sắp thứ tự từ tập A \ d }, nên số cách: A 93  504 cách.

 Số cách lập là: 504  1008 cách.

Ta tìm các số có dạng: 0 bc 5 , Chọn b, c và sắp thứ tự từ tập A \ {0;5}, số cách là: A 82  56 cách. Vậy số các số tự nhiên chia hết cho 5 mà có bốn chữ số khác nhau là: 1008 - 56 = 952 số.

Câu 47. Có 12 thí sinh tham gia một cuộc thi âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách trao ba giải cao nhất: Nhất, Nhì và Ba của cuộc thi cho các thí sinh? Lời giải Số cách trao giải bằng số cách lấy ra 3 người từ 12 thí sinh và xếp có thứ tự giữa họ, do đó chính là: A 123  12 11 10   1320 (cách)

Câu 48. Một nhóm hành khách, gồm 2 nam và 3 nữ, lên một chiếc xe buýt. Trên xe có 10 ghế trống, trong đó có 5 ghế cạnh cửa sổ. a) Hỏi họ bao nhiêu cách ngồi? b) Các hành khách nữ mong muốn ngồi cạnh cửa sổ. Hỏi số cách ngồi của họ là bao nhiêu? Lời giải a) Số cách ngồi của nhóm hành khách chính là số cách chọn ra 5 chiếc ghế có xếp thứ tự từ 10 chiếc ghế trống, nghĩa là: A 10 5  10 9 8 7 6     30240 (cách) b) Việc xếp chỗ cho nhóm khách có thể được thực hiện theo 2 công đoạn: - Công đoạn 1: xếp chỗ cho những hành khách nữ; - Công đoạn 2: xếp chỗ cho những hành khách nam. Với công đoạn 1, ta cần xếp chỗ cho 3 hành khách nữ vào 3 trong 5 chiếc ghế cạnh cửa sổ. Số cách xếp là: A 53  5 4 3   60 (cách) Đối với công đoạn 2, ta cần xếp chỗ cho 2 hành khác nam vào 2 trong bất kì 10  3  7 chiếc ghế còn lại. Số cách xếp là: A 72  7 6  42 (cách)

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách xếp chỗ là: 60 42  2520 (cách)

Câu 49. Để chuẩn bị cho buổi biểu diễn, 3 anh hề phải chọn trang phục biểu diễn cho mình gồm mũ, tóc giả, mũi và quần áo. Đoàn xiếc có 10 chiếc mũ, 6 bộ tóc giả, 5 cái mũi hề và 8 bộ quần áo hề. Hỏi các anh hề có bao nhiêu cách chọn trang phục biểu diễn? Lời giải Để chọn trang phục biểu diễn, các anh hề có thể thực hiện 4 công đoạn, gồm:

• Công đoạn 1: chọn mũ;
• Công đoạn 2: chọn tóc giả;
• Công đoạn 3: chọn mũi giả;
• Công đoạn 4: chọn quần áo. Có 3 anh hề và 10 chiếc mũ nên số cách chọn mũ để đội cho 3 anh hề là: A 103  10 9 8   720 (cách) Tương tự, có A 63  6 5 4   120 cách chọn tóc giả, có A 53  5 4 3   60 cách chọn mũi hề và có 3 A 8  8 7 6   336 cách chọn quần áo. Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách chọn trang phục của 3 anh hề là:

720 120 60 336    1741824000 (cách)

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 50. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 999 999, có bao nhiêu số chứa đúng một chữ số 1 và đúng một chữ số 2? Lời giải Các số từ 1 đến 999999 có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng abcdef , trong đó mỗi kí

hiệu a b c d e f, , , , , nhận một trong các giá trị 0;1;2; ;..; 9. Chẳng hạn số 001234 được hiểu là số

1234.

Để tạo thành một số abcdef thoả mãn yêu cầu ta có thể tiến hành qua hai công đoạn:

• Công đoạn 1: chọn ra 2 kí hiệu trong số a b c d e f, , , , , để thay bằng các chữ số 1; 2 ;
• Công đoạn 2: thay 4 kí hiệu còn lại, mỗi kí hiệu bằng một chữ số bất kì trong số tám chữ số còn

lại 0;3;4; ; .

Có A 62  6 5  30 cách chọn ra 2 kí hiệu từ 6 kí hiệu để thay chúng tương ứng bằng 1;.

Mỗi kí hiệu còn lại có thể được thay bằng 8 cách khác nhau. Do đó có tổng cộng 8 8 8 8    4096 (cách) Theo quy tắc nhân, số các số từ 1 đến 999999 cần tìm là: 30 4096  122880 (số)

Câu 51. a) Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái của từ "KHIÊNG" thành một dãy kí tự gồm 6 chữ cái khác nhau (có thể là vô nghĩa)? b) Cùng câu hỏi như a) nhưng yêu cầu hai chữ cái đầu tiên là các phụ âm? c) Giống câu hỏi a) nhưng yêu cầu các phụ âm phải đứng liên tiếp với nhau. Lời giải a) Từ KHIÊNG có 6 chữ cái khác nhau. Do đó, số cách sắp xếp 6 chữ cái khác nhau theo yêu cầu là: 6!  6 5 4 3 2 1      720 (cách) b) Từ "KHIÊNG" có 4 phụ âm là K, H, N và G. Việc sắp xếp 6 chữ cái thoả mãn yêu cầu có thể được thực hiện qua hai công đoạn: - Công đoạn 1: chọn 2 trong số 4 phụ âm để xếp vào hai vị trí đầu tiên; - Công đoạn 2: xếp 6-2=4 chữ cái còn lại vào 4 vị trí tiếp theo. Số các cách chọn ra 2 trong 4 phụ âm để xếp vào hai vị trí đầu tiên là: A 42  4 3  12 (cách) Số các cách xếp 4 chữ cái còn lại vào 4 vị trí tiếp theo là: P 4  4!  4 3 2 1    24 (cách) Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp cần tìm là: 12 24  288 (cách) c) Có 4 phụ âm trong từ KHIÊNG và ta yêu cầu chúng phải đứng liên tiếp nhau, do đó có ba phương án cho vị trí của các phụ âm: - Phương án 1: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 1,2, 3,4; - Phương án 2: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 2,3, 4,5; - Phương án 3: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 3,4, 5,6. Đối với phương án 1, việc xếp các chữ cái được thực hiện qua hai công đoạn: - Công đoạn 1: xếp 4 phụ âm vào các vị trí 1,2, 3,4; - Công đoạn 2: xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại.

Số các cách xếp 4 phụ âm vào 4 vị trí là: 4!  4 3 2 1    24 (cách)

Số các cách xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại là: 2!  2 1  2 (cách)

Vậy, theo quy tắc nhân thì số cách xếp theo phương án 1 là: 24 2  48 (cách) Tương tự, mỗi phương án 2 và 3 có 48 cách sắp xếp. Vì thế, theo quy tắc cộng thì số cách xếp thoả mãn là: 48  48  48 = 144(cách)

BÀI TẬP BỔ SUNG

Câu 52. Rút gọn 6 5 4

n n n

A A

M

A





2 3 3 5 6 5 6 6

A .A A

N

P P

  2 1

( 3)! ( 2)!

n n n

P P

E

n A n

  

 

Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: 294-144=150 số.

Câu 56. Một đội bóng có 22 cầu thủ, cần chọn ra 11 cầu thủ thi đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a. Ai cũng có thể chơi ở bất kì vị trí nào? b. Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được? Lời giải

a. Số cách chọn 11 cầu thủ trong 22 cầu thủ ra sân thi đấu là A 1122.

1. Số cách chọn 11 cầu thủ trong đó cầu thủ A làm thủ môn còn các cầu thủ khác vào vị trí nào cũng

được là: A 1021.

Dạng 3. Tính số tổ hợp

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 57. Một lớp có 24 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn: a) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp? b) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam? c) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam? Lời giải a) Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40. Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: C 40 3  9880. b) Mỗi cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là một tổ hợp chập 2 của 24. Số cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là: C 24 2  276.

Mỗi cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là một tổ hợp chập 1 của 16.

Số cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là: C 161  16. Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam là:

276  4416.

1. Cách 1: Để ban cán sự lớp có ít nhất 1 học sinh nam thì xảy ra các trường hợp: Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ có C 124  C 162  24 120  2880 (cách chọn) Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ có C 24 2  C 161  276 16  4416 (cách chọn) Trường hợp 3: Chọn 3 học sinh nam có C 24 3  2024 (cách chọn). Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là: 2880  4416  2024 . Cách 2: Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: C 340  9880. Số cách chọn 3 học sinh nữ làm ban cán sự của lớp là: C 16 3  560. Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là: 9880  560 9320.

Câu 58. Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong 10 điểm phân biệt. Lời giải Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một cặp điểm (không tính thứ tự) chọn trong 10 điểm phân biệt nên có C 10 2  45 đoạn thẳng.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 17

Câu 59. Tính số đường chéo của một đa giác lồi có 12 đỉnh. Lời giải Mỗi đường chéo tương ứng với một cặp đỉnh (không tính cạnh) chọn trong 12 đỉnh của đa giác lồi nên có C 12 2  12  54 đường chéo.

Câu 60. Bạn Nam đến cửa hàng mua 2 chiếc ghế loại A. Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có 20 chiếc và ghế loại A màu đỏ có 15 chiếc. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua 2 chiếc ghế loại A? Lời giải

Tổng số ghế loại A là: 20  15  35 (chiếc)

Vậy số cách chọn mua 2 chiếc ghế loại A là: C 35 2  595.

Câu 61. Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo. Lời giải Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là: {áo vàng; áo xanh} , {áo vàng; áo trắng },{ áo vàng; áo nâu} , {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.

Câu 62. Lớp 10 A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam. a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ? b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam? c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam? Lời giải a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có C 183 cách chọn. b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tố hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có C 205 cách chọn. c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là:

Câu 63. Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho? Lời giải Có C 83  56 tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho.

Câu 64. Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần? Lời giải Có C 10 2  45 cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần.

Câu 65. Tính tổng C 1512  C 1513 C 1614

Lời giải 12 13 14 C 15  C 15  C 16  680

Câu 66. Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy? Lời giải

Lớp đó có tổng cộng 16  18  34 (học sinh)

Có C 34 3  5984 cách lập một tỗ trồng cây gồm các học sinh bất kì. Có C 16 3  560 cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nữ. Có C 18 3  816 cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nam.

Có 5984  560  816  4608 cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 19

 Có: C 18  8 (cách chọn)

• CĐ2: Chọn một phó chủ tịch trong 7 người còn lại là một tổ hợp chập 1 của 7 người  Có: C 17  7 (cách chọn)
• CĐ3: Chọn một thư kí trong 6 người còn lại là một tổ hợp chập 1 của 6 người  Có: C 16  6 (cách chọn)
• CĐ4: Chọn một ủy viên trong 5 người còn lại là một tổ hợp chập 1 của 5 người 1  C 6  5 (cách chọn)  Áp dụng quy tắc nhân: 8.7.6 = 1680 (cách chọn) Vậy có 1680 khả năng về kết quả bầu ủy ban này.

Câu 71. Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên? Lời giải Việc phân công các bạn trong nhóm làm các công việc theo chỉ dần của trung tâm gồm 3 công đoạn:

• CĐ1: Chọn 3 bạn hỗ trợ đi lại trong 7 bạn đến trung tâm là một tổ hợp chập 3 của 7.  Có: C 37  35 (cách chọn)
• CĐ2: Chọn 2 bạn hỗ trợ tắm rửa trong 6 bạn còn lại là một tổ hợp chập 2 của 7  Có: C 6 2  21 (cách chọn)
• CĐ3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống trong 5 bạn còn lại là một tổ hợp chập 2 của 5  Có: C 5 2  10 (cách chọn)

 Áp dụng quy tắc nhân có: 35 10  7350 cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề.

Câu 72. Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như Hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành? Lời giải Vì cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và 2 đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

• CĐ1: Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 4 đường thẳng song song có C 42  6 (cách)
• CĐ2: Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 5 đường thẳng song song có C 5 2  10 (cách) Vậy có tất cả 6=60 hình bình hành được tạo thành.

Câu 73. Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V. League) có 14 đội bóng tham giá. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu? Lời giải Chọn 2 đội trong 14 đội bóng tham gia để tthi đấu lượt đi là một tổ hợp chập 2 của 14 2  C 14  91 (trận)

 Cả giải đấu lượt đi và về có số trận đấu là: 2  182 (trận)

Câu 74. Một bệnh viện có 12 bác sĩ nội khoa và 10 bác sĩ ngoại khoa. Bệnh viện cần cử 5 bác sĩ tham gia vào đội y tế cứu trợ thiên tai. a) Cần cử 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa. Có bao nhiêu lựa chọn? b) Cần cử ít nhất 2 bác sĩ nội khoa và ít nhất 2 bác sĩ ngoại khoa. Có bao nhiêu lựa chọn? Lời giải a) Mỗi cách chọn 3 trong 12 bác sĩ nội khoa là một tổ hợp chập 3 của 12 bác sĩ này. Do đó, có C 123 cách chọn 3 trong 12 bác sĩ nội khoa. Có C 10 2 cách chọn 2 trong 10 bác sĩ ngoại khoa. Áp dụng quy tắc nhân, số cách cử 5 bác sĩ trong đó có 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa là: 3 2 C C 12 10  220  9900 (cách).

Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  facebook/tracnghiemtoanthpt489/

1. Có hai phương án thực hiện. Phương án 1: Chọn 2 bác sĩ nội khoa và 3 bác sĩ ngoại khoa, có C C 122 103 cách chọn. Phương án 2: Chọn 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa, có C C 123 10 2 cách chọn. Áp dụng quy tắc cộng, số cách cử 5 bác sĩ trong đó có ít nhất 2 bác sĩ nội khoa và ít nhất 2 bác sĩ ngoại khoa là: 2 3 3 2 C C 12 10  C C 12 10  66  220  17820 (cách).

Câu 75. Trong một lô 100 sản phẩm, có 97 chính phẩm (sản phẩm đạt tiêu chuẩn) và 3 thứ phẩm (sản phẩm không đạt tiêu chuẩn). Từ 100 sản phẩm này, có bao nhiêu cách lấy ra 3 sản phẩm mà a) 3 sản phẩm được lấy bất kì? b) trong đó có 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm? c) trong đó có ít nhất một thứ phẩm? Lời giải a) Mỗi cách lấy 3 sản phẩm từ 100 sản phẩm là một tổ hợp chập 3 của 100 sản phẩm. Do đó, số cách lấy 3 sản phẩm bất kì là C 100 3  161700 (cách). b) Có C 97 2 cách lấy 2 chính phẩm từ 97 chính phẩm. Có C 13 cách lấy 1 thứ phẩm từ 3 thứ phẩm. Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, số cách lấy 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm là C C 972 31  4656 3  13968 (cách). c) Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây. Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm. Trường hợp này có C 97 2 C 3 1  4656  13968 cách lấy, như đã tính ở trên. Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm. Trường hợp này có C 197 C 3 2  97  291 cách lấy. Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm. Trường hợp này có C 3 3  1 cách lấy. Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là 13968  291  1  14260 (cách). Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là C 97 3. Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là 3 3 C 100  C 97  161700  147440  14260 (cách).

Câu 76. Một giải đấu có 4 đội bóng A B C, , và D tham gia. Các đội đấu vòng tròn một lượt để tính điểm

và xếp hạng. a) Có tất cả bao nhiêu trận đấu? b) Có tất cả bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về đội vô địch và á quân? c) Có bao nhiêu khả năng về bảng xếp hạng sau khi giải đấu kết thúc? Biết rằng không có hai đội nào đồng hạng. Lời giải a) Cứ hai đội bất kì thì có một trận đấu. Do đó, số trận đấu của giải bằng số tổ hợp chập 2 của 4 đội, tức bằng 42 4! 6 2!2!

C  .

1. Mỗi kết quả của giải đấu về đội vô địch và á quân là một chỉnh hợp chập 2 của 4 đội. Do đó, số kết quả này bằng A 42  4  12. c) Mỗi kết quả về bảng xếp hạng của giải đấu là một hoán vị của 4 đội. Do đó, số kết quả có thể

xảy ra là P 4  4!  24.

Câu 77. Một tổ công nhân 9 người làm vệ sinh cho một toà nhà lớn. Cần phân công 3 người lau cửa sổ, 4 người lau sàn và 2 người lau cầu thang. Tổ có bao nhiêu cách phân công? Lời giải