Bài tập trắc nghiệ vè lượng giác có đáp án năm 2024

Tài liệu gồm 99 trang, được biên tập bởi thầy giáo Phạm Hùng Hải, tuyển chọn bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác có đáp án, giúp học sinh lớp 11 rèn luyện khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1.

Nội dung chính Show

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác
a. Định lí cosin
b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
c. Định lí sin
d. Công thức diện tích tam giác
Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

MỤC LỤC: I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 1. Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. §1 – Hàm số lượng giác: TXĐ, đơn điệu, tuần hoàn 3. Bảng đáp án 12. §2 – Hàm số lượng giác: đồ thị 13. Bảng đáp án 22. §3 – Hàm số lượng giác: GTLN, GTNN 23. Bảng đáp án 26. §4 – Phương trình lượng giác cơ bản với sin x, cos x 27. Bảng đáp án 33. §5 – Phương trình lượng giác cơ bản với tan, cot 34. Bảng đáp án 37. §6 – Phương trình lượng giác đưa về phương trình của một hàm số lượng giác 39. Bảng đáp án 45. §7 – Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin x, cos x 47. Bảng đáp án 56. §8 – Phương trình lượng giác đồng bậc (đẳng cấp, thuần nhất) đối với sin x, cos x 58. §9 – Phương trình lượng giác đối xứng, nửa đối xứng đối với sin x, cos x 66. Bảng đáp án 74. §10 – Phương trình lượng giác đưa về phương trình tích 76. Bảng đáp án 79. §11 – Phương trình lượng giác có tập nghiệm bị giới hạn 80. Bảng đáp án 83. §12 – Phương trình lượng giác chứa tham số 84. Bảng đáp án 89. §13 – Đề kiểm tra 90. Bảng đáp án 97.

Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết.

Mời bạn đọc tham khảo tài liệu học tập Toán 10 theo bộ SGK chương trình mới của Bộ GD&ĐT:

Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Toán 10 Kết nối tri thức tập 1
Toán 10 Cánh Diều tập 1

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác

a. Định lí cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có hệ thức sau:

b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là: ta có:

c. Định lí sin

Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

d. Công thức diện tích tam giác

Giả sử là các đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

![\begin{align} & S=\frac{1}{2}.{{h}{a}}.BC=\frac{1}{2}{{h}{b}}.AC=\frac{1}{2}{{h}{c}}.AB \ & S=\frac{1}{2}a.b.\sin \widehat{C}=\frac{1}{2}a.c.\sin \widehat{B}=\frac{1}{2}c.b.\sin \widehat{A} \ & S=\frac{a.b.c}{4.R} \ & S=p.r \ & S=\sqrt{p.\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)} \ \end{align}](https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%7B%7Bh%7D%7Ba%7D%7D.BC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%7Bh%7D_%7Bb%7D%7D.AC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%7Bh%7D_%7Bc%7D%7D.AB%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da.b.%5Csin%20%5Cwidehat%7BC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da.c.%5Csin%20%5Cwidehat%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc.b.%5Csin%20%5Cwidehat%7BA%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3D%5Cfrac%7Ba.b.c%7D%7B4.R%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3Dp.r%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3D%5Csqrt%7Bp.%5Cleft(%20p-a%20%5Cright)%5Cleft(%20p-b%20%5Cright)%5Cleft(%20p-c%20%5Cright)%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

Tính số đo các góc của ΔABC

Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC

Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

![\begin{align} & A{{B}^{2}}=A{{C}{2}}+B{{C}^{{2}}-2AC.BC.\cos \widehat{ACB} \
& \Leftrightarrow {{12}}{2}}={{13}^{2}}+{{15}{2}}-2.13.15.\cos \widehat{ACB} \ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ACB}=\frac{25}{39}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx {{50}^{0}}7' \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20A%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%3DA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D-2AC.BC.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BACB%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7B12%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7B13%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B15%7D%5E%7B2%7D%7D-2.13.15.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BACB%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%5Ccos%20%5Cwidehat%7BACB%7D%3D%5Cfrac%7B25%7D%7B39%7D%5CRightarrow%20%5Cwidehat%7BACB%7D%5Capprox%20%7B%7B50%7D%5E%7B0%7D%7D7%27%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

![\begin{align} & A{{C}^{2}}=A{{B}{2}}+B{{C}^{{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC} \
& \Leftrightarrow {{13}}{2}}={{12}^{2}}+{{15}{2}}-2.12.15.\cos \widehat{ABC} \ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ABC}=\frac{5}{9}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx {{56}^{0}}15' \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20A%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%3DA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D-2AB.BC.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BABC%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7B13%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7B12%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B15%7D%5E%7B2%7D%7D-2.12.15.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BABC%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%5Ccos%20%5Cwidehat%7BABC%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B9%7D%5CRightarrow%20%5Cwidehat%7BABC%7D%5Capprox%20%7B%7B56%7D%5E%7B0%7D%7D15%27%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

Ta có tổng 3 góc của một tam giác là

Ta có:

Tương tự ta tính được:

![\left{ \begin{matrix} {{m}{b}}=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{569}}{2} \ {{m}{c}}=\sqrt{\dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{161} \ \end{matrix} \right.](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%0A%7B%7Bm%7D_%7Bb%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7BA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B569%7D%7D%7B2%7D%20%5C%5C%0A%0A%7B%7Bm%7D_%7Bc%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7BA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%7D%3D%5Csqrt%7B161%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.)

Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

- Nửa chu vi tam giác ABC:

- Diện tích tam giác ABC: %5Cleft(%20p-AC%20%5Cright)%5Cleft(%20p-BC%20%5Cright)%7D%3D20%5Csqrt%7B14%7D)

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:

- Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:

Ta có:

Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 1200

Tính diện tích ΔABC

Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác ABC:

Ta có:

![\begin{align} & B{{C}^{2}}=A{{B}{2}}+A{{C}^{{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{A} \
& \Rightarrow B{{C}}{2}}={{6}^{2}}+{{8}{2}}-2.6.8.\cos {{120}^{0}}=148 \ & \Rightarrow BC=2\sqrt{37} \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20B%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%3DA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%2BA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D-2AB.AC.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BA%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20B%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7B6%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B8%7D%5E%7B2%7D%7D-2.6.8.%5Ccos%20%7B%7B120%7D%5E%7B0%7D%7D%3D148%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20BC%3D2%5Csqrt%7B37%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13

ΔABC có góc tù hay không?

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Tính diện tích ΔABC

HS: Tự giải

Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 600, góc B = 450, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác.

HS: Tự giải

Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, ha, R.

HS: Tự giải

Bài 6. Cho ΔABC có mb = 4, mc = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC.

HS: Tự giải

Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC.

HS: Tự giải

Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

HS: Tự giải

Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b2 - a2) = c(a2 - c2)

HS: Tự giải

Bài 10. Cho ΔABC. Chứng minh rằng:

%7D%5E%7B2%7D%7D%2B4S.%5Cfrac%7B1-%5Ccos%20C%7D%7B%5Csin%20C%7D)

%7D%5E%7B2%7D%7D%7D)

%5Cleft(%20p-b%20%5Cright)%5Cleft(%20p-c%20%5Cright)%7D)

HS: tự giải

Bài 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

%3D3%5Cleft(%20%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bb%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bc%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5Cright))

HS: tự giải

Bài 12. Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng

HS: tự giải

Bài 13. Cho tam giác ABC biết %3BB%5Cleft(%200%2C3%20%5Cright)%3BC%5Cleft(%208%5Csqrt%7B3%7D%2C3%20%5Cright))

Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

HS: tự giải

Bài 14. Cho tam giác ABC biết . Tính , cạnh b, c của tam giác đó.

HS: tự giải

Bài 15. Cho tam giác ABC biết . Tính số đo các góc A, B và độ dài cạnh c.

Bài 16. Để lấp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 8km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?

HS: tự giải

Bài 17. 2 Vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết . Hãy tính khoảng cách AC và BC.

HS: tự giải

Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì %7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7B%7Bm%7D_%7Bc%7D%7D%20%5Cright)%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D)

![\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}{2}}}{2}-\frac{{{c}^{{2}}}{4} \right)+\frac{4}{9}\left( \frac{{{a}}{2}}+{{c}^{{2}}}{2}-\frac{{{b}}{2}}}{4} \right)={{a}^{{2}} \
& \Leftrightarrow 5{{a}}{2}}={{b}^{2}}+{{c}{2}} \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bb%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%7B%7Bc%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%20%5Cright)%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bc%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%7B%7Bb%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%20%5Cright)%3D%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%205%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7Bb%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bc%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

Mặt khác

![\begin{align} & \Leftrightarrow {{a}^{2}}=5{{a}{2}}-2bc\cos A \ & \Rightarrow bc=\frac{2{{a}^{{2}}}{\cos A}=\frac{2{{a}}{2}}}{\cos \alpha } \ & \Rightarrow {{S}{ABC}}=\frac{1}{2}b.c.\sin A={{a}^{2}}\tan \alpha \ \end{align}](https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%3D5%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D-2bc%5Ccos%20A%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20bc%3D%5Cfrac%7B2%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B%5Ccos%20A%7D%3D%5Cfrac%7B2%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B%5Ccos%20%5Calpha%20%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20%7B%7BS%7D%7BABC%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Db.c.%5Csin%20A%3D%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%5Ctan%20%5Calpha%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

Trước hết chứng minh công thức bằng cách sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên

Mà

%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2b%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2c%7D)

![\begin{align} & \frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}{B}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c} \ & \frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}{C}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b} \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cfrac%7BB%7D%7B2%7D%7D%7B%7B%7Bl%7D_%7BB%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2c%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cfrac%7BC%7D%7B2%7D%7D%7B%7B%7Bl%7D_%7BC%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2b%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D)

.........................................

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn. VnDoc.com mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 10, đề thi học kì 2 lớp 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc.