- Đồng thời hình thành thói quen phản xạ nhanh khi giải các bài tập toán cao cấp, phấn đấu đạt điểm 8.0+ trở lên. - Giúp học viên tiết kiệm thời gian thay vì đi học thêm ở các lớp bạn, giảm rủi ro điểm thấp hoặc tạo động lực để tiếp tục học các môn toán sau này hoặc có nền tảng tư duy để thực hiện các việc nghiên cứu, học cao học, tiến sĩ,... - Nắm chắc các dạng toán thường thi, ôn luyện hệ thống phương pháp giải nhanh chóng, phấn đấu đạt ít nhất 8 điểm (thang điểm 10) môn toán cao cấp. Đối tượng mục tiêu - Sinh viên năm nhất các ngành kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin, sư phạm,...
- Sinh viên có nhu cầu cải thiện điểm toán cao cấp
Tổng quát Khóa học không tập trung nhiều vào lý thuyết mà chỉ đề cập một cách rất cơ bản để học viên hình dung được mình đang học vấn đề gì. Khóa học chủ yếu đề cao phần bài tập, phân dạng và hướng dẫn chi tiết cho học viên cách giải nhanh chóng, cũng như tâm lý phản xạ trước những bài toán khó. Đồng thời, ở mỗi chương, khóa học sẽ chỉ ra những lỗi sai thường gặp khi sinh viên thi toán cao cấp, định hướng tâm lý cho các em làm bài đạt hiệu quả cao. - 1. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 1 Bài 1. Cho các ma trận: 2 4 6 7 1 2 1 34 , , 3 5 7 0 4 3 2 6 A B C Hãy thực hiện các phép tính sau: A B , 3A B , 2t t A B , t A B , . ,t A B . t A B C . ĐS: 14 14 5 28 16 23 42 34 9 t A B , 6 34 . 2 1 t A B , 62 0 . 0 62 t A B C Bài 2. Cho hai ma trận: 1 3 2 2 1 1 3 0 2 A và 2 6 5 1 4 3 3 9 7 B . 1) Hãy tính các tích AB và BA . Từ đó hãy cho biết ma trận A có khả nghịch không? chỉ ra ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A . ĐS: AB I , BA I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3. 2) Tìm ma trận X (nếu có) thỏa mãn: XA B . ĐS: 2 ...X B Bài 3. Thực hiện các phép tính : 1) 4 2 1 3 3 1 2 0 1 ; 2) 3 1 3 1 2 2 0 0 1 1 ĐS: 14 10 ; 1 27 9 18 28 0 0 9 1 . Bài 4. Cho ma trận : 2 1 1 1 1 1 2 1 3 A . Tính det( )A , det(5 )t A , 4 det( )A . ĐS: det 2A ; 3 det(5 ) 5 .2 250t A ; 4 4 det( ) 2 16A . Bài 5. Tính định thức của các ma trận sau: 1) 1 1 1 1 1 1 x x x ; 2) 0 1 1 1 0 1 0 x x ; 3) 1 1 2 1 3 2 1 a a ; 4) 1 0 3 1 2 2 6 0 1 0 3 1 4 1 12 0 ; 5) 4 0 0 1 3 1 0 2 0 1 2 2 1 2 1 0 . ĐS: 1) 2 ( 2)( 1)x x ; 2) 0 ; 3) 2 3 4 2a a ; 4) 0 ; 5) -45
- 2. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 2 Bài 6. Tìm hạng của các ma trận sau: 2 7 3 1 6 3 5 2 2 4 9 4 1 7 2 A ; 3 4 1 2 1 4 7 2 1 10 17 4 4 1 3 3 B ; 0 1 0 1 0 1 3 1 3 1 3 5 3 5 3 7 9 7 9 7 C . ĐS: 2r A ; 3r B ; ( ) 2r C Bài 7. Cho ma trận: 1 2 1 0 1 1 1 3 A m 1) Tìm m để ma trận A khả nghịch. 2) Với 1m , hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng ba cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính, cách 3: sử dụng biến đổi sơ cấp). ĐS: 1) 1 2 m ; 2) 1 4 5 3 1 2 1 1 1 1 A Bài 8. Cho ma trận: 1 2 1 1 0 1 1 2 A m 1) Với giá trị nào của m thì hạng của ma trận A bằng 3? Với các giá trị m vừa tìm được thì ma trận A có khả nghịch không? 2) Với 1m , hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng hai cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính). ĐS: 1) Hạng của mt vuông A bằng cấp của mt khi và chỉ khi det( ) 0A . ĐS: 3 5 m 2) 1 2 5 1 1 2.5 0.5 1 2 3 1 1 1.5 0.5 2 0 1 1 0 0.5 0.5 A Bài 9. Hãy tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau bằng hai cách (cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp; cách 2: sử dụng ma trận phụ hợp): 1) 1 2 ; 2 5 A 2) 0 2 1 3 4 2 1 1 1 B ; 3) 2 3 ; 4 6 C ĐS: 1 1 2 3 8 5 2 ; 1 1 3 . 2 1 1 2 6 A B
- 3. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 3 Bài 10. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau 1) 2 2 2 3 3 2 3 2 1 x y z t x y z t x y z t ; 2) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 2 4 3 4 2 5 10 13 6 20 x x x x x x x x x x x x ; ĐS: 1) 5 1 3 2 2 x z y z t z z ; 2) 1 2 3 4 2 2 12 2 1 x x x x x . Bài 11. 1) Với giá trị nào của m thì các hệ phương trình sau có nghiệm: a) 2 1 3 2 2 5 4 5 x y z t x y z t x y z mt ; b) 10 6 3 2 1 2 5 2 x y z t x y mz t x y z mt . HD: Biến đổi ma trận bổ sung của hệ pttt về dạng bậc thang. Hệ pttt có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )bs r A r A ĐS: a) 4m ; b) 3m 2) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất? Có vô số nghiệm? 3 2 0 2 0 2 0 4 0 x y t y z t x z t x y mz HD: det( ) 11 5A m với A là ma trận hệ số của hệ pttt. Hệ vuông thuần nhất có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi det( ) 0A . Hệ vuông thuần nhất có vô số nghiệm khi và chỉ khi det( ) 0A Bài 12. Tìm tất cả các ma trận X (nếu có) thỏa mãn: 1) 2 1 2 1 1 3 1 3 X X ; 2) 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 2 1 1 2 X . ĐS: 1) Các ma trận X thỏa mãn pt có dạng: , , x y X x y y x y ; 2) 3 7 2 1 1.5 0.5 X
- 4. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 4 Bài 13. Trong không gian véctơ 3 cho tập hợp: 3 ; ; | 3 0W x y z x y z a) Véctơ 1;2;3u có thuộc W không? Chỉ ra một véctơ (khác véc tơ không) thuộc W . b) Chứng minh rằng W là một không gian véctơ con của 3 . c) Tìm một cơ sở, số chiều của không gian W . d) Chứng minh véctơ 1;2;5u thuộc W và tìm tọa độ của u trong cơ sở của W tìm được ở câu hỏi trên. ĐS: a) không; VD: 1;1;2u W c) Một cơ sở 1 23;1;0 ; 1;0;1u uS ; dim 2W d) 2;5Su . Bài 14. Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp: 4 2 0 ; ; ; | 0 x t V x y z t y z t . a) Véctơ 1;2;5;4u có thuộc V không? b) Chứng minh rằng V là một không gian véc tơ con của 4 . c) Tìm một cơ sở và tính số chiều của không gian V . ĐS: a) Không; c) Một cơ sở 1 22;1;1;0 ; 0;1;0;1u uS ; dim 2V . Bài 15. Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp: 4 ; ; ; | 2 0V x y z t y t . a) Chứng minh V là một không gian véctơ con của 4 . b) Tìm một cơ sở, số chiều của không gian V . c) Chứng minh véctơ 4;2; 1;1u thuộc V và tìm tọa độ của u u trong cơ sở tìm được ở trên. ĐS: b) Một cơ sở 1 2 31;0;0;0 ; 0; 2;1;0 ; 0;0;0;1S u u u ; dim 3V . c) 4; 2;1Su Bài 16. Các tập hợp sau có là không gian véctơ con của các không gian tương ứng không? a) ; ; ; |2 3 1V x y z t x z trong 4 . b) ; ; | 2 0V x y z xy z trong 3 . c) 2 3 0 ; ; ; | 0 x t V x y z t y t z trong 4 . ĐS: a) không; b) không; c) không. Bài 17. Trong không gian véctơ 3 cho tập hợp: 3 2 0 ; ; | 0 x z V x y z x y z . a) Chứng minh rằng V là không gian véctơ con của 3 .
- 5. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 5 b) Tìm một cơ sở và tính số chiều của không gian V . c) Chứng minh rằng véctơ 1 1 1; ; 2 2 u thuộc V và tìm tọa độ của u trong cơ sở tìm được ở trên. ĐS: b) Một cơ sở 2;1;1S v ; dim 1V ; c) 2Su Bài 18. Họ các véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) 1 2 31; 2;0;4 ; 3; 2;1,1 ; 2;2;1;3S u u u trong 4 . b) 1 2 31; 2;0;4 ; 3; 2;1,1 ; 2;0;1; 3S u u u trong 4 . c) 1 2 3 41;2;4 ; 3; 2;2 ; 1;0;3 ; 1;1;1U u u u u trong 3 . ĐS: a) ĐLTT b) PTTT c) PTTT. Bài 19. 1) Chứng minh họ vectơ sau là một cơ sở của không gian vectơ 3 : 1 2 31;2;4 ; 3; 2;1 ; 2; 1;5v v vV 2) Họ vectơ sau đây có phải là một cơ sở của không gian vectơ 3 không? 1 2 32;3;4 ; 3; 2;5 ; 5;0;23u u uU ĐS: 2) không Bài 20. Với giá trị nào của m thì họ vectơ sau đây độc lập tuyến tính? Phụ thuộc tuyến tính? a) 1 2 32;1;1; ; 2;1; 1, ; 10;5; 1;5V v m v m v m trong 4 . b) 1 2 32;1;2 ; 2;1; 1 ; 1 ;2; 3u m u uU m trong 3 . c) 1 2 3;2;1 ; 1; 2, ; 2;2;3u m u m uV trong 3 . ĐS: a) PTTT khi 1 2 m ; ĐLTT khi 1 2 m b) PTTT khi 1 2 m hoặc m=3; ĐLTT khi 1 2 m và 3m c) PTTT khi 1m hoặc m=0; ĐLTT khi 1m và 0m Bài 21. Trong 3 , véctơ u sau đây có phải là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại không? Tại sao? Với 1 2 31;1;1 ; 0; 1;1 ; 2; 1;3 ; 2; 1;5u u u u . ĐS: Có vì 1 22 3u uu . Bài 22. Tìm điều kiện của m để véctơ u trong 3 sau đây là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại với 1 2 30;1; 1 ; 2;1;3 ; ;2; 1 ; 1; ;2u u u m u m .
- 6. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 6 ĐS: Là THTT khi và chỉ khi 1 2 m Bài 23. Trong không gian véctơ 2 cho hai tập hợp: 1 21; 1 ; 2;1u uU và 1 23;1 ; 1; 1 .vV v a) Chứng minh rằng U và V là hai cơ sở của 2 . b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V . c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ V sang U . d) Tìm tọa độ của vectơ 3; 1x trong cơ sở U . e) Tìm vectơ y trong 2 có tọa độ trong cơ sở U là (4; 5)Uy . f) Biết tọa độ của vectơ z trong cơ sở U là (7;2)Uz , hãy tìm tọa độ của vectơ z trong cơ sở V . ĐS: b) 1 1 3 4 0 3 A ; c) 3 0 4 1 1 4 B ; d) 5 2 ; 3 3 Ux ; e) 6; 9y ; f) 3 13 ; 2 2 Vz Bài 24. Trong không gian vectơ 3 cho hai tập hợp: 1 2 31;1; 1 ; 1;1;0 ; 2;1; 1u u uU và 1 2 31;1;0 ; 1;0; 1 ; 1;1;1v v vV . a) Chứng minh U và V là hai cơ sở của 3 . b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V . c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ V sang U . d) Tìm tọa độ của vectơ 2;3; 1x trong cơ sở U . e) Tìm vectơ y trong 3 có tọa độ trong cơ sở U là 1;1; 1Uy . f) Biết tọa độ của vectơ z trong cơ sở V là 1;0;2Vz , hãy tìm tọa độ của vectơ z trong cơ sở U . ĐS: b) 0 0 1 1 1 2 0 1 0 A ; c) 2 1 1 0 0 1 1 0 0 B ; d) 2;2; 1Ux ; e) 0;1;0y ; f) 0;2; 1Uz Bài 25. Tìm hạng của họ các véc tơ sau: a) 2 41 32;1;1 ; 2; 3;1 ; 1;0;1 ; 1; 3;2u u uU u trong không gian vectơ 3 . b) 1 2 32;1;1 ; 2; 3;1 ; 4;0;1v v vV trong không gian vectơ 3 .
- 7. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 7 c) 1 2 32;2;0;0; 1 ; 3; 3;1;5;2 ; 1; 1; 1;0;0wW w w trong không gian vectơ 4 . ĐS: a) 2; b) 3; c) 3. Bài 26. Trong không gian véc tơ 4 hãy tìm hạng của họ các véc tơ sau tùy theo m : 1 2 32;1;1; ; 1;3; 1;2 ; 3;1; 3 ;0u m u u mU ĐS: 1m thì hạng của họ vectơ là 2; với 1m thì hạng của họ vectơ là 3. Bài 27. Cho ánh xạ 3 2 :f xác định bởi: 3 ; ; , ( ) ;u x y z f u x y y z 1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm ker , Imf f và tính hạng của f . 3. Tìm ma trận của f trong cơ sở 1 2 3(1;1;0); (1;0;1); (1;1;1)U u u u của 3 và cơ sở 1 2(1;1); (1;2)V v v của 2 . ĐS: ker ; ; |f u t t t t ; 2 Im f ; ( ) dim Im 2r f f ; 3 3 4 1 2 2 A Bài 28. Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f xác định bởi: 3 ; ; , ( ) 2 ;3 ;3 2u x y z f u x y y z x z 1. Tìm ker , Imf f và chỉ ra cho mỗi không gian này một cơ sở. 2. Tìm hạng của ánh xạ f . 3. Tìm ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở 1 2 3(0;1;1); (1;0;1); (1;1;1)U u u u của 3 . ĐS: ker 2 ; ;3 | 2; 1;3f u t t t t ; Im 1;0;3 , 2;3;0 , 0;1; 2 1;0;3 , 0;1; 2f span ; ( ) 2r f ; 4 0 2 6 0 3 8 1 6 A Bài 29. Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f có ma trận là 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A trong cơ sở chính tắc 1 2 3(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)E e e e của 3 . 1. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính f . 2. Tìm ma trận của ánh xạ f trong cơ sở 1 2 3(1;0;0); (1;0;1); (1;1;1)U u u u của 3 . 3. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ? nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A .
- 8. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 8 HD&ĐS: 1. Giả sử 3 ; ; ,u x y z có 1 2 3u xe ye ze suy ra 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f u xf e yf e zf e do f là axtt. ĐS: ( ) ; ;f u y z x z x y 2. 1 0 0 0 1 0 1 2 2 B 3. Mt A có hai giá trị riêng là 1 2 (bội 1) và 2 1 (bội 2). Vectơ riêng ứng với gt riêng 1 2 có dạng , t v x x x x . Vectơ riêng ứng với gt riêng 2 1 có dạng , , t v x y x y x y . Ma trận 1 1 0 1 0 1 1 1 1 P làm chéo hóa A và 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 P AP . Bài 30. Cho ánh xạ tuyến tính 3 2 :f có ma trận là 1 1 2 2 1 1 A trong hai cơ sở 1 2 3(1;1;0); (1;0;1); (1;1;1)U u u u của 3 và cơ sở 1 2(1;1); (1;2)V v v của 2 . 1. Tính (4;2;1).f 2. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính f . 3. Tìm hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f và chỉ ra cho mỗi không gian con này một cơ sở. ĐS: 1. 1 2 34;2;1 3 2u u u u 1 2 3( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )f u f u f u f u . ĐS: (4;2;1) (10;17)f 2.Với 3 ; ; ,u x y z có 1 2 3( ) ( ) ( )u x z u x y u x y z u CT xác định f là: ( ) 2 ;4f u x y x y z . 3. ker ; 2 ;2 , 1; 2;2f u x x x x một cơ sở: 1 1; 2;2S Dùng định lý: 3 dim(ker ) dim(Im ) dim( )f f suy ra 2 Im f , có 1 cơ sở là V . Bài 31. Cho 2 2 :f là ánh xạ xác định bởi: 2 ; , ( ) 8 15 ; 6 11u x y f u x y x y . 1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm ker , Imf f và tính hạng của f . 3. Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong trong cơ sở 1 2(1;1); (2;1)U u u của 2 . 4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ? nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A .
- 9. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 9 HD&ĐS: 2. ker (0;0)f 2 Im f ; 3. 3 1 2 0 A ; 4. A có 2 giá trị riêng là 1 1 và 2 2 . Vectơ riêng ứng với gt riêng 1 1 có dạng , 2 x u x x Vectơ riêng ứng với gt riêng 2 2 có dạng , x u x x Ma trận 1 1 2 1 P làm chéo hóa A và 1 1 0 0 2 P AP . Bài 32. Cho ánh xạ 3 3 :f xác định bởi: 3 ; ; , ( ) ; ;u x y z f u x z y x z . 1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. 2. Tìm ker , Imf f và tính hạng của f . Chỉ ra cho mỗi không gian con ker , Imf f một cơ sở. 3. Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong trong cơ sở chính tắc 1 2 3(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)E e e e của 3 . 4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A . Ma trận A có chéo hóa được không ? nếu có hãy viết ma trận P làm chéo hóa A . HD&ĐS: 2. ker ;0; , (1;0; 1)f x x x ; Im (1;0;1),(0;1;0)f ; ( ) 2r f 3. 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A 4. A có 3 giá trị riêng là 1 0 , 2 1 và 3 2 . Vectơ riêng ứng với gt riêng 1 0 có dạng 0 , t u x x x Vectơ riêng ứng với gt riêng 2 1 có dạng 0 0 , t u y y Vectơ riêng ứng với gt riêng 3 2 có dạng 0 , t u x x x Ma trận 1 0 1 0 1 0 1 0 1 P làm chéo hóa A và 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 P AP . Bài 33. Cho ma trận 1 6 5 2 A và 6 3 , 5 2 u v . Hỏi ,u v có phải là những vectơ riêng của ma trận A không ? vì sao ? HD: 4Au u ; 9 , 11 Av v
- 10. TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017 BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 10 Bài 34. Ma trận sau có chéo hóa được không ? nếu được hãy đưa ma trận đó về dạng chéo : 2 4 3 4 6 3 3 3 1 A HD: Ma trận A có hai giá trị riêng là 1 1 (bội 1) và 2 2 (bội 2). K/g riêng ứng với giá trị riêng 1 1 (bội 1) là không gian 1 chiều sinh bởi 1 1 1 t v K/g riêng ứng với giá trị riêng 2 2 (bội 2) là không gian 1 chiều sinh bởi 1 1 0 t v nên mt A vuông cấp 3 không có đủ 3 vectơ riêng độc lập tuyến tính, do đó ma trận A không thể chéo hóa được. ---- HẾT ----
|