Là hàm số có dạng \(y=ax^3+bx^2+cx+d\), trong đó \(a\ne0\). Đạo hàm \(y'=3ax^2+2bx+c.\) Khi \(a\ne 0\), đạo hàm nếu bằng 0 thì chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm (tối đa 2) nên ta có:
- Hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\) không đổi dấu hay \(\Delta\le0.\)
- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}\Delta\le0\\a>0\end{cases}\)
- Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}\Delta\le0\\a<0\end{cases}\)
- Nếu trong hệ số \(a\) có chứa tham số \(m\) thì phải xét riêng trường hợp \(a=0\) rồi kiểm tra có thoả mãn đề không.
Xem thêm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu.
2. Hàm nhất biến
Là hàm số dạng \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), với điều kiện \(ad-bc\ne0,\) \(c\ne0,\) \(a\) có thể bằng \(0.\) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash\{x_0\},\) trong đó \(x_0=-\frac{c}{d}.\)
- Hàm số này đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(ad-bc>0.\)
- Nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(ad-bc<0.\)
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y=x^3+mx^2+4x+3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Giải. Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\). Ta có \(y'=3x^2+2mx+4\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases}3>0 \\ \Delta'=m^2-12 \le 0\end{cases} \Leftrightarrow -2\sqrt{3} \le m \le 2\sqrt{3}\]
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(-2\sqrt{3} \le m \le 2\sqrt{3}\).
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=(m-1)x^3-3(m-1)x^2 + 3x +2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Giải. Ta có \(y' = 3(m-1)x^2 - 6(m-1)x+3\) Nếu \(m=1\) thì \(y'=3>0\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Nếu \(m \neq 1\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases}m-1>0\\ \Delta ' = 9(m-1)^2 - 9(m-1) \leq 0\end{cases} \Leftrightarrow 1 <m \leq 2.\] Vậy \(1 \leq m \leq 2.\)
Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\dfrac{x+m}{x+1}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải. Tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}\backslash\{-1\}.\) Ta có \(y'=\dfrac{1-m}{(x+1)^2}.\)
Nếu \(1-m=0\) thì \(y'=0\quad \forall x\in D\) nên hàm số là hàm hằng và là hàm không đồng biến cũng không nghịch biến.
Trong chương trình toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số là một phần kiến thức thường xuất hiện ở các đề thi đại học. Để học tốt phần này, các em cần nắm được lý thuyết và là cơ sở để giải bài tập. Các em hãy cùng ôn tập lý thuyết và bài tập về hàm số đồng biến nghịch biến lớp 12 với VUIHOC nhé!
1. Lý thuyết toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số
1.1. Tính đơn điệu của hàm số định nghĩa như thế nào?
Một trong những tính chất quan trọng của hàm số trong chương trình Toán 12 là tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến hay tăng – giảm).
Ta có hàm số y = f(x) xác định trên một miền D bất kỳ.
- Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu: thì
- Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu: thì
Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f(x) cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và x giảm thì f(x) tăng.
1.2. Điều kiện thỏa mãn để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b):
- Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
- Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).
1.3. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số
4 bước xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể như sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tìm đạo hàm f’(x) rồi tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …, n) sao cho tại đó đạo hàm không xác định hoặc đạo hàm bằng 0.
- Bước 3: Sắp xếp lại các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần rồi lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Đăng ký nhận ngay bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán 12
2. Bài tập về sự đồng biến nghịch biến của hàm số lớp 12
2.1. Xét tính đơn điệu của hàm số đồng biến nghịch biến lớp 12
Bài tập 1: Hãy xét tính đơn điệu của hàm số sau: y = x³ – 3x² + 2
Giải:
Bước 1: Hàm số y = x³ – 3x² + 2 xác định với mọi x ∊ R
Bước 2: Ta có: y’=3x²– 6x
Xét y’=0 ⇒ 3x²– 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2
Bước 3: Bảng biến thiên
Bước 4: Kết luận
- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;2).
Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x⁴ – 2x² + 1
Giải:
Ta có: y = x⁴ – 2x² + 1, hàm số xác định với mọi x ∊ R
y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1)
Cho y’ = 0 ⇒ 4x (x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1
Bảng biến thiên:
Xét bảng biến thiên có thể kết luận:
- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞).
- Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1).
2.2. Phương pháp tìm điều kiện của tham số khi hàm số đơn điệu
Bài tập 3: Xác định tham số m để thỏa mãn hàm số đồng biến trên tập xác định.
Giải:
Xét hàm số:
Có:
Do hệ số
Nên để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì phương trình y'=0 phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Tức là:
Bài tập 4: Xác định tham số m để hàm số luôn nghịch biến
Giải:
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập sự đồng biến nghịch biến của hàm số thuộc chương trình Toán 12. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay