Vậy phương trình dạng 6.1 đều có thể giải quyết bằng cách đưa về pt đẳng cấp hoặc pt tách biến (tùy trường hơp)
6.2 Các ví dụ:
1. Giải phương trình: (1)
Ta viết lại phương trình (1) dưới dạng :
Vì:
Do đó, ta áp dụng phép thế:
trong đó: h, k là nghiệm hệ phương trình:
Giải hệ phương trình trên ta có: h = -1, k = 3
Vậy ta đặt: x = u -1 , y = v + 3. Khi đó, thế vào pt (1) ta có: (phương trình đẳng cấp)
Ta đặt:
Thế vào phương trình ta có:
Hay:
Giải phương trình trên ta có:
Hay
Vậy nghiệm phương trình (1) là:
Hay:
2. Giải phương trình:
Phương trình này rơi vào trường hợp 2.2. Do đó, đặt: z = x – y ta sẽ có:
Vậy nghiệm phương trình (2) là:
6.3: Phương trình đẳng cấp mở rộng:
(phần này M4Ps trích từ giáo trình Phương trình vi phân của tác giả Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung)
Xét phương trình: (6.3)
Phương trình (6.3) được gọi là phương trình đẳng cấp mở rộng nếu ta có thể chọn được số k sao cho vế trái của trở thành hàm đẳng cấp bậc k đối với x, y, dx, dy.
Nghĩa là: ta tìm được k sao cho tất cả các số hạng ở vế trái đều cùng bậc.
Trong đó: ta coi x là đại lượng bậc 1, y là đại lượng bậc k, dx là bậc 0 và dy là bậc k – 1.
Ví dụ: xét phương trình:
Ta có:
Trong đó số hạng có bậc là -2, số hạng có bậc là 2k và số hạng có bậc là k-1.
Vậy để phương trình (*) là pt đẳng cấp suy rộng thì phải tồn tại số k sao cho các số hạng cùng bậc. Nghĩa là:
Vậy (*) là pt đẳng cấp suy rộng.
Cách giải:
Sử dụng phép thế vạn năng:(với k là giá trị tìm được để pt là pt đẳng cấp suy rộng)
ta sẽ đưa phương trình về dạng pt tách biến.
Ví dụ: 1. ta giải phương trình (*) bằng cách đặt
Thế vào pt (*) ta có:
Hay:
2. Giải phương trình:
Ở đây, phương trình này không thể đưa về phương trình phân ly biến số, đẳng cấp nên ta thử tìm hằng số k để đưa về pt đẳng cấp suy rộng.