Kiến thức cần nhớ
- Tọa độ của điểm và của vecto
1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→; j→ ; k→ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
- Vì i→; j→ ; k→ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: i→2=j→2=k→2=1 và i→ . j→ = j→. k→ = k→ . i→ =0.
2. Tọa độ của một điểm
- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto i→; j→; k→ không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: OM→ = x.i→+ y. j→ +z. k→
- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức OM→ = x.i→ + y. j→ + z.k→.
- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z).
3. Tọa độ của vecto
- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho a→ = a1.i→ + a2. j→ + a3. k→.
Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto a→ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết a→=(a1; a2 ; a3) hoặc a→(a1; a2 ; a3).
- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto OM→
Ta có: M(x; y; z)⇔OM→ (x; y; z)
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto
Ví dụ 1. Cho u→ (2; −3; 4); v→ ( 4;−2;0)
- Tính u→ + v→;
- 2v→;
- u→ −2 v→.
Lời giải:
- u→+v→= (2 + 4; -3-2; 4 + 0) = (6; -5; 4);
- Ta có: 2v→ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).
- Ta có: u→ −2 v→= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)
- Hệ quả:
- Cho hai vecto a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2; b3), ta có:
a→=b→ ⇔a1=b1a2=b2a3=b3
- Vecto 0→ có tọa độ ( 0; 0; 0).
- Với b→ ≠0→ thì hai vecto a→; b→ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:
⇔ a→=kb→ (k∈ℝ)
⇔a1=kb1a2=kb2a3=kb3 ⇔ a1b1=a2b2=a3b3,(b1, b2, b3≠0)
Ví dụ 2. Cho u→ (2m; 3; −1); v→ (4; 3; n−2). Tìm m và n để u→ = v→
Lời giải:
Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?
Lời giải:
- Ta thấy 2−4 = 3−6 ≠714
Do đó, hai vecto trên không cùng phương.
- Ta thấy: b→ = −3a→ nên hai vecto trên cùng phương.
Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).
- Tính AB→;
- Tìm tọa độ trung điểm M của AB.
Lời giải:
III. Tích vô hướng.
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2; b3) được xác định bởi công thức: a→.b→=a1.b1+a2.b2+a3.b3
Ví dụ 5. Cho a→ (1;−3;4); b→ (1;2;1). Tính a→. b→?
Lời giải:
Ta có: a→. b→ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1
2. Ứng dụng
- Độ dài của một vecto.
- Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto AB→. Do đó, ta có:
- Góc giữa hai vecto.
Nếu là góc góc giữa hai vecto a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3) với a→; b→ ≠0→ thì
Từ đó, suy ra a→⊥b→ ⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).
- Tính AB; AC
- Tính cosin của góc A.
Lời giải:
IV. Phương trình mặt cầu
- Định lí.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính r= A2 + B2+ C2−D.
Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:
- x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;
- x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0
Lời giải:
- Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1
Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính R = 22+ (−1)2+ 02 −(−1) \=6
- Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2
Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính R = 42+ 12+ (−1)2 −2 = 4
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ trong hệ trục Oxyz.
Dạng 2: Tích có hướng.
Dạng 3: Ứng dụng của tích có hướng để tính diện tích và thể tích.
Dạng 4: Phương trình mặt cầu.
Bài tập tự luyện
1 Bài tập vận dụng
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và đường kính có độ dài bằng 2.
- Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 1
- Diện tích của mặt cầu (S) là π
- Thể tích của khối cầu (S) là 4π3
Lời giải:
Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:
x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0
<=> (x2 - 2x + 1) +(y2 - 2y + 1) + (z2 - 4z + 4) = 1 + 1 + 4 - 5
<=> (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 1
Vậy khẳng định B đúng.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và có bán kính R=1, do đó đường kính của (S) là 2R=2.
Vậy khẳng định A đúng.
Thể tích của khối cầu (S) là
Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích của mặt cầu với diện tích của đường tròn. Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR2 = 4π
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Cho H(4;-3;-2). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Lời giải:
Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có: